每日一题（2020-05-26）287. 寻找重复数

[287. 寻找重复数]

难度 中等

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。

示例 1:

输入: [1,3,4,2,2]
输出: 2

示例 2:

输入: [3,1,3,4,2]
输出: 3

说明：

1. 不能更改原数组（假设数组是只读的）。
2. 只能使用额外的 O(1) 的空间。
3. 时间复杂度小于 O(n²) 。
4. 数组中只有一个重复的数字，但它可能不止重复出现一次。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-duplicate-number

解法一：鸽巢原理

抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 n+1 个元素放到 n 个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理

在本题中我们可以将数组中的每一个元素移到个对应下标的位置（即：nums[i] = i）, 假设：

• 无重复元素：则每次交换后就有一个元素归为，最后所有 i 会归位到 nums[i] 处，则 nums[i] = i 退出循环；
• 有重复元素：最后会因为在之前的交换中重复元素的一个已经归位，另一个元素在 nums[i] 中，于是 nums[i] == nums[nums[i]] 就会 break。 交换就是为了是为了使 nums[i] 位置处的值为 i , 而 nums[i] == nums[nums[i]] 本身就表示 nums[nums[i]] 为 nums[i]

class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            while(nums[i] != i){
                if(nums[i] == nums[nums[i]]){
                    return nums[i];
                }
                //i 会归位到 nums[i] 处
                int temp = nums[nums[i]];
                nums[nums[i]] = nums[i];
                nums[i] = temp;

            }
        }
        return -1;
    }
}

解法二：二分查找

定义 cnt[i] 表示数组 nums[] 中小于等于 i 的数有多少个，假设重复的数是 target，那么 [1, target -1] 里的所有数满足 cnt[i] ≤ i ，[target , n]里的所有数满足 cnt[i] > i 。

即小于目标元素的数(设为 x)数组中小于等于 x 的数的个数 ≤ x， 大于等于目标元素的数数组中**小于等于 **x 的数的个数 > x

例如：[1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9] , 重复元素为 4 ，区间 [1, 3] 都满足 cnt[i] ≤ i ，区间 [4, 9] 都满足 cnt[i] > i

因此我们利用二分查找在 [1, n] 中搜索重复数字， 首先设重复数字 target = （1 + n）/ 2 ，然后统计数组中小于等于 target 的个数 cnt， 如果 cnt <= target , 则说明重复数位于 target 的右边，即 [mid + 1, n] 中，否则重复数位于 [1, mid] 中，这样我们每次都能排出一半的数字，直到找到重复数。

public class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int left = 1;
        int right = len - 1;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            int cnt = 0;
            for (int num : nums) {
                if (num <= mid) {
                    cnt += 1;
                }
            }
            if (cnt > mid) {
                // 重复元素位于区间 [left, mid]
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}