NJUPT【 高等数学 (上) 】

Part 0 往年真题

Part 1 极限

• 1/4 直接代入型

例1：已知 f(x) = x²-3/x，求 lim(x→3) f(x)
将 x = 3 代入 f(x) 得：lim(x→3) f(x) = 8
例2：已知 f(x) = sinx+e^x，求 lim(x→π) f(x)
将 x = π 代入 f(x) 得：lim(x→π) f(x) = e^π

• 2/4 ∞/∞ 型

洛必达法则
分子最高次数大于分母：lim(x→∞) f(x) = ∞
分母最高次数大于分子：lim(x→∞) f(x) = 0
分子分母最高次数相同：lim(x→∞) f(x) = 分子分母系数比
例1：已知 f(x) = (7x⁸+x⁶+9x⁴)/(6x⁵+4x³+2x)
lim(x→∞) f(x) = ∞
例2：已知 f(x) = (8x⁵+4x³+x)/(x⁹+x³+x)
lim(x→∞) f(x) = 0
例3：已知 f(x) = (5x²-4x+3)/(2x²+6x-1)
lim(x→∞) f(x) = 5/2

• 3/4 0/0 型

洛必达法则
例1：已知 f(x) = 4x/(e^x-1)
lim(x→0) f(x) = lim(x→0) 4/e^x = 4
例2：已知 f(x) = (1-cosx)/x²
lim(x→0) f(x) = lim(x→0) sinx/2x = lim(x→0) cosx/2 = 1/2

• 4/4 (1+x)^1/x 型

lim(x→0) (1+x)^1/x = e
例1：已知 f(x) = (1+(x-2)/3)^3/(x-2)
lim(x→2) f(x) = e
例2：已知 f(x) = (1+x)^2/x
lim(x→0) f(x) = lim(x→0) [(1+x)^1/x]² = e²
例3：已知 f(x) = (1+x)^(1/x+2)
lim(x→0) f(x) = lim(x→0) (1+x)²(1+x)^1/x = lim(x→0) (1+x)²e = e
例4：已知 f(x) = ((x+1)/3)^(3/(x-2))
lim(x→2) f(x) = lim(x→2) (1+(x-2)/3)^(3/(x-2)) = e

Part 2 连续

• 1/3 求左极限、右极限

例1：求 f(x) = x-2，x<0
f(x) = x，x≥0 在 x = 0 处的左极限、右极限
左极限：lim(x→0-) f(x) = -2
右极限：lim(x→0+) f(x) = 0
例2：求 f(x) = 1/x 在 x = 0 处的左极限、右极限
左极限：lim(x→0-) f(x) = -∞
右极限：lim(x→0+) f(x) = +∞
例3：求 f(x) = (1+2^(1/x))/(2+2(1/x)) 在 x = 0 处的左极限、右极限
lim(x→0-) 1/x = -∞
lim(x→0+) 1/x = +∞
左极限：lim(x→0-) f(x) = 1/2
右极限：lim(x→0+) f(x) = 1

• 2/3 判断连续性

判断 f(x) = x-2，x<0
f(x) = x，x≥0 在 x = 0 处是否连续
左极限：lim(x→0-) f(x) = -2
右极限：lim(x→0+) f(x) = 0
函数值：f(0) = 0
三个结果不相等，所以不连续

• 3/3 已知函数连续，求未知参数

已知 f(x) = x²+a，x<0
f(x) = b，x = 0
f(x) = x+1，x>0 连续，求 a、b
左极限：lim(x→0-) f(x) = a
右极限：lim(x→0+) f(x) = 1
函数值：f(0) = b
函数连续，所以三个结果相等 a = 1 = b

Part 3 导数

• 1/6 一般函数求导

例1：求 y = x³-2x²+sinx 的导数
y' = 3x²-4x+cosx
例2：已知 f(x) = sinx·Inx，求 f'(x)
f'(x) = cosx·lnx+sinx·1/x
例3：已知 y = ln(sinx)，求 dy/dx
dy/dx = (sinx)'·1/sinx = cosx/sinx

• 2/6 隐函数求导

已知函数 y = y(x) 且 ylny = xlnx，求 y'
两边求导 y'·lny+y·(1/y)·y' = 1·lnx+x·1/x
解得：y' = (lnx+1)/(lny+1)

• 3/6 底数、指数均含未知数的函数求导

已知函数 y = f(x) 且 y^y = x^x，求 y'
两边取对 ylny = xlnx
两边求导 y'·lny+y·(1/y)·y' = 1·lnx+x·1/x
解得：y' = (lnx+1)/(lny+1)

• 4/6 参数方程求导

求曲线 x = t-sint
y = 1-cost 在 t = π/2 的导数 dy/dx
dx/dt = 1-cost
dy/dt = sint
dy/dx = sint/(1-cost) = 1

• 5/6 函数连续可导，求未知参数

求 a、b 的值，使函数 f(x) = ax+b，x<1
f(x) = (a+b+1)/2，x = 1
f(x) = x²，x>1 在任意点处连续可导
f(1-) = a+b
f(1) = (a+b+1)/2
f(1+) = 1
函数连续，所以 a+b = (a+b+1)/2 = 1 ①
x<1 时，lim(x→1)f'(x) = a
x>1 时，lim(x→1)f'(x) = 2
函数可导，所以 a = 2 ②
由 ①② 解得：a = 2，b = -1

• 6/6 已知导数值求极限

例1：已知 f'(x₀) = m，求 lim(Δx→0) [f(x₀+3Δx)-f(x₀)]/Δx
lim(Δx→0) [f(x₀+3Δx)-f(x₀)]/Δx
= lim(Δx→0) [f(x₀+3Δx)-f(x₀)]/3Δx · 3
= f'(x₀)·3 = 3m
例2：已知 f'(x₀) = a，求 lim(h→0) [f(x₀-2h)-f(x₀-h)]/h
lim(h→0) [f(x₀-2h)-f(x₀-h)]/h
= lim(h→0) [f(x₀-2h)-f(x₀)]/h - [f(x₀-h)-f(x₀)]/h
= lim(h→0) [f(x₀-2h)-f(x₀)]/(-2h) · (-2) + [f(x₀-h)-f(x₀)]/(-h)
= -2 f'(x₀)+f'(x₀) = -f'(x₀) = -a

Part 4 微分中值定理

• 1/3 罗尔中值定理

例1：设 f(x) 在 [0，1] 上连续且在 (0，1) 内可导，且 f(1) = 0， 试证明至少有一个点 ε∈(0，1)，使 f'(x) = -2f(ε)/ε
因为 f'(x) = -2f(ε)/ε
所以 2f(x)/x+f'(x) = 0
所以 2xf(x)+x²f'(x) = 0
令 F'(x) = 2xf(x)+x²f'(x)，则 F(x) = x²f(x)
因为 F(0) = F(1) = 0，所以 F(x) 在 (0，1) 上满足罗尔中值定理
所以至少有一个点 ε∈(0，1) 使 F(ε) = 0，即 f'(x) = -2f(ε)/ε
例2：设 f(x) 在 (a，b) 上连续可导， 证明存在一点 ε∈(0，1)，满足 [bf(b)-af(a)]/(b-a) = f(ε)+εf'(ε)
因为 [bf(b)-af(a)]/(b-a) = f(x)+xf'(x)
所以 f(x)+xf'(x)-[bf(b)-af(a)]/(b-a) = 0
令 F'(x) = f(x)+xf'(x)-[bf(b)-af(a)]/(b-a)，则 F(x) = xf(x)-x[bf(b)-af(a)]/(b-a)
因为 F(a) = F(b) = ab[f(a)-f(b)]/(b-a)，所以 F(x) 在 (a，b) 上满足罗尔中值定理
所以至少有一个点 ε∈(a，b) 使 F(ε) = 0，即 [bf(b)-af(a)]/(b-a) = f(ε)+εf'(ε)

• 2/3 拉格朗日中值定理

例：利用拉格朗日中值定理证明不等式 -2≤(sinx2-sinx1)/(x2-x1)≤2，其中 x2>x1
拉格朗日中值定理：[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1) ∈ f'(x)
因为 f(x) = sinx
所以 f'(x) = cosx∈[-1，1]
所以 (sinx2-sinx1)/(x2-x1)∈[-1，1]
所以 -2≤(sinx2-sinx1)/(x2-x1)≤2

• 3/3 求极值与最值

例1：求函数 f(x) = 4x³-12x²+9x 的极大值、极小值及在 [0，1.5] 内的最大值。
f'(x) = 12x²-24x+9 = 3(2x-1)(2x-3)
极大值：f(0.5) = 2
极小值：f(1.5) = 0
在 [0，1.5] 内的最大值：f(0.5) = 2

例2：有一块边长为3的正方形铁片，在每一个角上各剪去一个边长为x的小正方形，
用剩下的部分做成开口盒子，当x为多大时盒子的容积最大？
V = (3-2x)(3-2x)x = 4x³-12x²+9x
因为 3-2x>0、x>0，所以 x∈(0，1.5)
V' = 12x²-24x+9 = 3(2x-1)(2x-3)
所以当 x = 0.5 时，容积最大

Part 5 不定积分

• 1/6 直接套公式

• 2/6 换元法

例1：求 ∫2xe^x² dx
设 x² = a，da = 2xdx
原式 = ∫2xe^x² dx = ∫e^ada = e^a+C = e^x²+C
例2：求 ∫sin√x/√x dx
设 √x = a，da = dx/2√x
原式 = ∫2sina da = -2cosa+C = -2cos√x+C

• 3/6 多项相加的不定积分

∫(A±B)dx = ∫Adx ± ∫Bdx
例：求 ∫[1/(x+1)-1/(x+1)²] dx
原式 = ∫1/(x+1)dx-∫1/(x+1)²dx
= ln|x+1|+C1-[-1/(x+1)+C2]
= ln|x+1|+1/(x+1)+C

• 4/6 两项相乘的不定积分

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx+C
取 v'(x) 的顺序：反函数、对数、幂数、指数、三角函数
例1：求 ∫xlnx dx
原式 = (lnx)(x²/2)-∫(1/x)(x²/2) dx = (lnx)(x²/2)-x²/4+C
例2：求 ∫2xe^x dx
原式 = 2xe^x-∫2ex dx = 2xe^x-2ex+C
例3：求 ∫lnx dx
原式 = xlnx-∫x·(1/x) dx = xlnx-x+C

• 5/6 sin、cos 相乘的不定积分

例：求 ∫(sin3x)(sinx) dx
原式 = ∫-1/2cos4x+1/2cos2x dx = 1/8sin4x+1/4sin2x+C

• 6/6 x² 加减常数项的不定积分

例：求 ∫1/(4-x²) dx
令 x = 2sint，则 cost = √(4-x²)/2，tant = x/√(4-x²)
原式 = ∫1/[4-(2sint)²] · 2cost dt
= ∫(1/4cost²) · 2cost dt
= ∫1/2cost dt
= (1/2) ln|1/cost+tant|+C
= (1/2) ln|2/√(4-x²)+x/√(4-x²)|+C

Part 6 定积分

• 1/3 定积分计算

求 ∫(0->1) √(1-x) dx
原式 = (-2/3)(1-x)^3/2 | (0->1)
= 0-(-2/3) = 2/3

• 2/3 定积分求面积

例1、求 y=1-x² 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴围成区域的面积。
S = ∫(0->1) √(1-x²-0) dx = 2/3

例2、求 y²=x 与 y=x-2 围成区域的面积。
S = ∫(-1->2) √(y+2-y²) dy = 27/6

• 3/3 定积分求体积

例1、由 y=1-x² 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴所围成区域的图形，绕 y=-1 旋转一周生成一个旋转体，求其体积。
V = ∫(0->1) π[1-x²-(-1)]² dx - ∫(0->1) π[0-(-1)]² dx = 略

例2、由 y=1-x² 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴所围成区域的图形，绕 x=-2 旋转一周生成一个旋转体，求其体积。
V = ∫(0->1) π[√(1-y)-(-2)]² dy - ∫(0->1) π[0-(-2)]² dy = 略