牛顿的故事

牛顿懂得了两个重要的东西。一是他必须掌握像《几何原本》那样精密、严谨的理论体系，否则他的学识再渊博再丰富也是支离破碎、残缺不全的；再就是，他必须学会用专门的理论技巧和数学方法，来充分表达自己对自然的认识和研究。聪明的牛顿一旦领悟到这两点，立即就埋头钻研《几何原本》。他还仔细研究了当时几位数学大师的新著，包括瓦里斯（John Wallis，1616-1703）的《无穷算术》，他又再次研究了笛卡儿的《几何学》。在当时人看来，这些都是最高深的数学著作，很难读懂。可是牛顿只用一年左右的时间就不但完全理解了作者的思想，还在他们的书中发现了大量错误，同时记下了大量笔记。特别令人吃惊的是，牛顿简直像是在与作者赛跑一样，一边读书，一边不断超越作者，一项接着一项地作出伟大发现。

阅读瓦里斯《无穷算术》时，受到求曲线包围面积计算方法的启发，把瓦里斯的整数幂有限项级数计算推广到分数幂无穷级数。他发现，新的无穷级数用于求解面积问题十分方便，就进一步用无穷级数求开方和作除法。在这个过程中，他成功地总结出二项展开式中变量的指数变化规律和每一项系数的变化规律，得到后来以他的名字命名的牛顿二项式定理。更为重要的是，他从这一发现中懂得了，把一个理论从特殊推广到一般的强大思维力量。后来，他的最重要的理论研究，都成功地由个别推广到普遍，最终形成庞大的思想体系，并在其不朽名著《自然哲学之数学原理》中得到完美体现。紧接着，他进一步发展了无穷级数的应用，这既可以看作是对二项式研究的推广，也可以看作是对一些特殊函数研究的推广。在这项研究中，牛顿把几何学研究中一些十分困难的问题(如求曲线包围的面积)转化成代数计算。其中有特殊重要意义的，是牛顿发现了可以把对数计算用无穷级数展开进行。牛顿后来在进行异常繁杂的天文计算时，这一发现十分有帮助。

就在这时，大鼠疫袭来，学校关闭了。牛顿回到了伍尔索普。他很快发现那里的生活干扰他的研究，又搬到汉弗莱·巴宾顿先生的家里，在那里度过了18个月中的大部分时间，这中间他还回过一次剑桥，去查找所需要的资料。那不朽的18个月一开始，牛顿就着手验算自己的无穷级数。在一份极为著名的手稿里，牛顿把一个对数展开为无穷级数，一直把它计算到小数点后第55位，那张草稿中写满了数字和符号。牛顿为了便于计算位数，每隔5位数字就用逗号隔开一次。后来，牛顿在从事天体计算时，大量运用了这种级数展开法，其工作量之大，令人叹为观止。

大英图书馆前现代雕塑：计算着的牛顿

在研究级数时，牛顿注意到，要把函数展开为无穷级数必须引入无穷小概念，以保证级数具有收敛特性。这一发现本身就是对数学研究的一项重要贡献。然而，牛顿没有到此止步，他把无穷小引进到笛卡儿的坐标系中，对函数关系中自变量的无穷小量变化与相应的函数变化量之间的比例和关系加以考查，从而发现了有史以来人类所掌握的最为强有力的数学分析工具——微分方法和概念，他当时称之为流数法。

有了流数法，牛顿轻而易举地做到了当时人们特别想做而又做不到的事：求一条曲线的切线，求曲线的变化率以及变化率的变化率、求函数的极大值和极小值，用统一方法求曲线所围的面积，等等。牛顿进一步发现，这种流数法可以直接用，也可以反着用。直接用时，可以求出曲线的切线(或函数的导数)；反着用，可以由切线求出曲线，或由导数求出函数，还可以十分方便地计算曲线包围的面积。牛顿的流数法和反流数法，就是我们今天所熟知的微分方法和积分方法。

微分和积分太重要了。过去，在伽利略、开普勒、笛卡儿和惠更斯等人手里无法求解和困难重重的难题，前人早已研究过的、人们正在研究的和许多尚无人研究的动力学、运动学问题，到了牛顿手里，用流数和反流数法都变成了简单问题。微积分后来成为一切科学研究最基本的计算工具，成为一个人是不是受过正规科学训练的重要标志之一。