开刷：《信号与系统》 Lec #19 离散时间信号采样

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.350 - p.357

1. 脉冲串采样

和连续时间脉冲串采样一样，离散时间序列脉冲串采样也是原始信号与脉冲串相乘，如下图所示。

离散时间采样

从频域上看，离散时间采样与连续时间采样也是类似的，公式分析如下，

那么的傅里叶变换可以写作（离散时间的频率变量可以写作，也可以表示为，我这里用），

还记得连续时间下冲激串信号的傅里叶变换表达吗？

在离散时间下脉冲串的傅里叶变换也有相似的表达，就是简单的把换成即可，

将代入可得，

注意上面的求和范围是从0到，因为第个复制就在的位置，与本身重合了，所以求和范围只有0到。画出频谱图更加一目了然，如下图所示，

离散时间信号被脉冲串采样后的频谱图

混叠这个概念也是与连续时间一样，当即时，没有混叠发生，利用一个理想滤波器可以把原始信号从采样后的信号中恢复出来；相反，如果，就会发生混叠，这样无法恢复原始信号。

从频域看原始信号的重建过程如下图所示，

从频域看利用理想低通滤波器由采样后信号重建原始信号

现在我们从时域来看理想低通滤波器由采样后的信号如何重建原始信号。有一个理想低通滤波器，通带增益为，截止频率为到，那么这个滤波器的单位脉冲响应为，

那么理想低通滤波器的输出也就是重建新号可以表示为，

上式表示的是一种理想的带限内插，需要一个理想低通滤波器。现实生活中，一般使用更易获得的零阶保持或一阶内插。

2. 离散时间序列抽取与内插(decimation and interpolation)

2.1 抽取

观察这篇笔记的第一幅插图，我们可以看到采样后的信号除了采样点之外都是0，而且我们是提前知道都是0，这样直接存储或者传输等处理是很不经济的，因此往往用一个新序列来代替，在新序列中，简单讲就是直接扔掉了中的非采样点，即

又因为和原始信号在的整数倍上都是相等的，那么

这个过程就叫做抽取，从时域上看如下图所示，

样本点抽取

现在从频域上来看这个抽取的效果，首先公式分析，

令，或，那么上式可以写作，

又因为当不是的整数倍时，，所以上式中的求和可以从到，不用局限在的整数倍，即

上式看出，抽取在频域上看就是频率尺度的变化（前提是信号不存在混叠），抽取的效果就是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带，如下图所示，注意幅值也变为了原来的倍。

从频域看离散时间信号采样和抽取

如果序列是经由连续时间信号采样得到，那么抽取过程可以看做在连续时间信号采样上，将采样率降低为的过程，也叫减采样。为了避免在抽取过程中引入混叠，原始信号的频谱就不能占满整个频带；换句话说，如果一个序列能够被抽取而不引入混叠，那么原来的连续时间信号就是被过采样了的，从而原采样率可以减小而且不会引入混叠。

在一些应用中，即使已经在满足不引入混叠的条件下尽可能的低采样率采样了，而在经过其他处理后，序列的带宽进一步减小，那么从而就有可能进行减采样或抽取，如下图所示，

一个减采样的例子

上图中，一个带限连续时间信号被以奈奎斯特频率采样，那么采样后的离散时间序列的频谱是占满整个频带的，但是经过一个离散时间滤波器之后，的带宽被缩小在了，这样就又存在了进行减采样的空间。

2.2 增采样(upsampling)或内插(interpolation)

增采样或者内插就是抽取的逆过程，分为两步，第一步是在原始信号点之间插入0，第二部用一个适当的理想低通滤波器对插入0后的信号进行插值，最终得到内插后的信号。从时域看和频域看如下图所示，

内插

上图中内插比例为2，从频域看就是频率缩小了2倍。注意内插完成后的信号幅值也变为了原始信号的2倍。

实际中，在抽取和内插或者说采样率变化过程中，大量情况都是两个有理数的比值，那么就需要抽取与内插，先后顺序不重要。如下图所示，(a)是一个原始序列的频谱，(b)是原始序列被减采样了4倍后的频谱，(c)是原始序列增采样2倍后的频谱，(d)是原始信号被增采样2倍后又减采样了9倍之后的频谱。

抽取与内插结合