leetcode 312 戳气球（动态规划）

题目描述： 有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167
示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

来源：力扣（LeetCode）
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题解： 本题目戳破气球的顺序，位置多变。例如：3 1 5 8 我们可选的位置很多，那么我们怎么选取戳破的位置呢？怎么考虑戳破方式呢？假如我们戳破了1，得到了一个中间结果，剩下3 5 8. 那么这是不是一个子问题呢？剩下的好像对于限制条件没有什么冲突，好像是可以作为子问题的。接下来说一说怎么以动态规划的方式思考这个问题：动态规划，其实可以理解为一种优雅的暴力破解。它可以将问题分为多个阶段，然后挨个求解，当前的解的计算依赖于之前的计算结果，所以其计算顺序值得考虑。也可以理解为自顶向下的记忆化递归的相反的计算方式（即自底向上）。对于本题目：我们使用res[i][j]表示区间i到j之间元素可以构成的结果的最优值。那么res[i][j]是怎么求解的呢？刚开始肯定是最小的子问题开始（即只有三个元素的情况）.然后我们枚举i到j之间的值k，即假设现在已经将i到k之间的值与k到j之间的值计算出来了。所以有res[i][j] = val[i]*val[k]*val[j] + res[i][k] + res[k][j];综合起来所有的k就是res[i][j] = Math.max(res[i][j], val[i]*val[k]*val[j] + res[i][k] + res[k][j]);最终返回res[0][n+1]即可。代码如下：

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) return 0;
        int n = nums.length;
        int[] val = new int[n+2];
        val[0] = 1;
        val[n + 1] = 1;
        for(int i = 1; i < n + 1; i++){
            val[i] = nums[i - 1];
        }
        int[][] res = new int[n + 2][n + 2];//res[i][j]存储的是i到j之间的数可以构成的最大结果值
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i + 2; j < n + 2; j++){
                for(int k = i + 1; k < j; k++){
                    int sum = val[i] * val[k] * val[j];//相当于i到k之间，k到j之间的气球都被戳破了
                    res[i][j] = Math.max(res[i][j], sum + res[i][k] + res[k][j]);
                }
            }
        }
        return res[0][n + 1];
    }
}