立体几何之目：2013年理数A18：几何法求线面角

2013年理科数学全国卷A题18

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱 中，

（I）证明∶ ;

（Ⅱ）若平面 平面 , ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2013年理科数学全国卷A

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2013年理数A18

【解答第1问】

连接 ; 作 中点 , 连接 .

∵ , ∴

又∵ , ∴

∵ , ∴

∵ ,

∴ 面 , ∴

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【解答第2问】

令

∵ 平面 平面 , ，∴ ,

∵ , ∴

又∵ , ∴ ,

∴

作 中点 , 连接 .

由题设条件可知： 是等腰直角三角形.

, ∴

到 的距离 =

直线 与平面 所成角的正弦值

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【提炼与提高】

底边长和高相等的两个三角形面积相等；底面积和高相等的两个四面体体积相等。

根据底面积和高可以计算四面体的体积；反之，根据体积和底面积也可以计算在该底面的高。

以上原理在几何中有大题的应用。

四面体是立体几何中的核心对象。在本题解答过程中，我们关注的是两个四面体：.

在解答立体几何问题的过程中，应该把注意力放在关键的对象上，必要时可以专门为这些对象画出独立图形。这是一个有用的经验。

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【回归教材】

本题第1问是一个课本题：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）. 这个题已经在高考中出现多次。

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【相关考题】

2007年文数海南卷题18

2017年文数C19

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