教学随笔：第一节导数课（二）

文/无为 二〇二二年二月十六日

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本方法。而要理解导数就要先理解好变化率问题，因为导数就是瞬时变化率的数学表达。而瞬时变化率是导数这一章学习的难点，要讲瞬时变化率就要先从平均变化率讲起。

教材中给了一个“高台跳水运动员的速度”问题，这个问题是很好很经典的，里面的平均速度和瞬时速度学生在物理课上也都有学到过。但我不得不考虑这个班里的学生都是选修历史的，再加上本身基础薄弱，直接讲这个问题的话，估计会懵倒一大片，这样一来就开始即结束了，大大打击他们继续学习导数的热情与兴趣。

针对这种情况，我选择在讲教材给出的问题之前，先讲一个我认为更有趣的事情作为导数学习的导入——关于过年收红包的事。

我问学生过年了最开心的是什么，大部分人说的是收红包，也有个别说最开心的是可以睡觉（嗯，有钱人的生活我羡慕不来）。既然如此，那我就针对收红包这事来讲一讲这个平均变化率问题了。我在黑板上写了从除夕夜到年初五总共六天的红包收入，并用列表的方式给出。设时间为X=1、2、3、4、5、6，再设红包钱数为y=100、400、550、650、550、500.

我让学生思考如何对别人描述钱数的变化？如果说“从除夕到年初三，钱一直在增加，从年初四到年初五钱一直在减少”，这样说的话，信息量太少了，根本不知道增加了多少减少了多少。于是我引导学生用数学的思维去回答这样的问题，即通过简单的数学运算得出结果后再来结果来说明。

首先是尝试用减法，这样就能马上知道从除夕到年初一钱是增加最多的（即300元），年初二到年初三增加最少（100元），也知道了年初三到年初四时钱花了最多（100元）。这里我是有意让学生这样的尝试的，学数学可不仅仅是为了高考，也要在日常生活中有意识地去用数学思维和数学眼光看待世界！接着又用除法进行尝试，都得出了相应的结果，并且这些结果都可以用来定量地回答我提出的问题。

接下来就要抛出这样的一个问题：从除夕到年初三这几天里平均每天增加多少钱？这个问题其实已经涉及到平均变化率问题了，但学生理解起来就没那么困难了，毕竟这是跟自己息息相关的事嘛。

就这样，一节课下来，通过这种简单的问题，采用探讨的形式，我把平均变化率问题慢慢让学生接受了。接下来就要等下节课把平均变化率问题转移到平均速度和其他问题上去。