离散数学及应用——嵌套量词

半路出家的android程序员，内功修为需要累积，先是数学基础，再到数据结构，量变到质变，直到打通任督二脉，写代码时能用数学的模型命题，再已数学的定理进行算法删减优化，才能成为万中无一的高手。

概念

嵌套量词是出现在其他作用域内的量词。
x+y = y+x
可以写成：∀x∀y(x+y=y+y) 作用域是所有实数（只是一个简单的加法交换律）

∀x∃y(x+y=0)
解释：对所有实数x,有一个实数y,使得x+y = 0

• 将下列语句翻译成汉语句子
  ∀x∀y((x>0)∧(y<0)→(xy<0))
  正数乘以负数小于零

数学语句翻译成涉及嵌套量词的语句

• 两个正整数的和是正数
  ∀x∀y((x>0∧y>0)→(xy>0))
• 每个实数(除了0)都有乘法逆元
  翻译：对每个实数x,如果x≠0，那么存在一个实数y使得xy=1
  ∀x((x≠0)→∃y(xy = 1))

汉语语句翻译成逻辑表达式

• 如果某人是女性且为人父母，这个人是某人的母亲
  设：
  每个人x
  F(x) x是女性
  P(x) x为人父母
  M(x,y)表示x是y的母亲
  表达式：
  ∀x(F(x)∧P(x)→∃yM(x,y))
  可以变形为：
  ∀x∃y(F(x)∧P(x)→M(x,y))
• 每个人都恰有一个最好的朋友
  分析：
  这句话可以表达为对每个人x,x恰有一个最好的朋友，
  引入全称量词∀x(x恰有一个最好的朋友)，论域是所有人
  x恰有一个最好的朋友意味着有一个y是x的最好的朋友，而且，对每个人z,如果z不是y,
  那么z不是x的最好的朋友当我们引入谓词B(x,y)为语句“y是x的最好的朋友”，则语句“
  x恰有一个最好的朋友”可以表示为
  ∃y（B(x,y) ∧∀z((z≠y)→¬B(x,z))）
  然后引入每个人:
  ∀x∃y(B(x,y)∧ ∀z((z≠y)→¬B(x,y))))
  也可以用唯一量词∃!表达
  ∀x∃!y(B(x,y))
• 有位妇女已搭乘过世界上每一条航线上的航班
  令：w为妇女，a为航线，f为航班，P(w,f) 为“w搭乘过f” Q(f,a) 为“f是a上的航班”
  ∃w∀a∃f(P(w,f) ∧Q(f,a))

否定嵌套量词

• ∀x∃y(xy=1)的否定
  ¬∀x∃y(xy=1)
  ≡ ∃x¬∃y(xy-1)
  ≡ ∃x∀y¬(xy=1)
  ≡ ∃x∀y(xy≠1)
• 没有一个妇女已搭乘过世界上每一条航线上的航班
  ∀w∃a∀f(¬P(w,f) ∨¬Q(f,a))