13-21-普通数组、矩阵

LeetCode 热题 100

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普通数组

13. 中等-最大子数组和

我的思路

• 思路：从第一个非负数开始，不断向右扩大窗口更新最大值；若当前窗口为负，则继续从下一个正数开始滑动窗口。

• 时间96ms(50.51%)，内存64.89MB(56.76%)。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(std::vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();

        // 寻找到第一个非负数
        int left{ -1 };
        int max_tmp{ nums[0] };
        while (left < len - 1 && nums[++left] < 0) {
            max_tmp = std::max(max_tmp, nums[left]);
        }

        // 向右扩大窗口，不断记录最大值，直到和为负或遍历完成
        int sum{ 0 };
        for (int i = left; i < len; i++) {
            sum += nums[i];
            max_tmp = std::max(max_tmp, sum);
            // 若当前和为负则重新找下一个正数
            if (sum < 0) {
                while (i < len - 1 && nums[++i] < 0) {}
                if (i == len - 1) {
                    return std::max(max_tmp, nums[i]);
                }
                --i;
                sum = 0;
            }
        }

        return max_tmp;
    }
};

官方思路一：动态规划

• 思路：类似于滚动数组的思想。若使用 $pre(i)$ 表示以下标 $i$ 为结尾的“连续子数组最大和”，显然我们只需要滚动遍历寻找 ${\max }_{0\le i\le n-1}\{pre(i)\}$ 即可。那每一步如何计算 $pre(i)$ 呢？可以使用递推的思想，也就是： $pre(i)=\max \{pre(i-1)+\text{nums}[i],\text{nums}[i]\}且pre(0)=\text{nums}[0]$。
• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为 $\text{nums}$ 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
• 空间复杂度：$O(1)$。我们只需要常数空间存放若干变量。
• 时间80ms(92.74%)，内存64.91MB(55.59%)。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (const auto &x: nums) {
            pre = max(pre + x, x);     // 求解本步骤的pre(i)
            maxAns = max(maxAns, pre); // 求解最大值
        }
        return maxAns;
    }
};

官方思路二：分治

• 思路：我们想通过定义一个递归函数 get(nums,l,r)表示查询 nums序列[l,r]区间 的最大子段和，于是 get(nums,0,nums.size()-1)就可以直接完成题目。每次查询时，都将区间拆成左右两个子区间 $[l,m]$、$[m+1,r]$（$m=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor$），直到子区间长度为1，然后再逐级根据两个子区间的信息返回当前子区间的信息。每个区间的“信息”包括四个：

• $\text{lSum}$ 表示 $[l,r]$ 内以 $l$ 为左端点的最大子段和
• $\text{rSum}$ 表示 $[l,r]$ 内以 $r$ 为右端点的最大子段和
• $\text{mSum}$ 表示 $[l,r]$ 内的最大子段和
• $\text{iSum}$ 表示 $[l,r]$ 的区间和

显然区间长度为1时，四个量都等于序列值。区间长度大于1时：

• 首先最好维护的是 $\text{iSum}$，区间 $[l,r]$ 的 $\text{iSum}$ 就等于「左子区间」的 $\text{iSum}$ 加上「右子区间」的 $\text{iSum}$。
• 对于 $[l,r]$ 的 $\text{lSum}$，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 $\text{lSum}$，要么等于「左子区间」的 $\text{iSum}$ 加上「右子区间」的 $\text{lSum}$，二者取大。
• 对于 $[l,r]$ 的 $\text{rSum}$，同理，它要么等于「右子区间」的 $\text{rSum}$，要么等于「右子区间」的 $\text{iSum}$ 加上「左子区间」的 $\text{rSum}$，二者取大。
• 当计算好上面的三个量之后，就很好计算 $[l,r]$ 的 $\text{mSum}$ 了。我们可以考虑 $[l,r]$ 的 $\text{mSum}$ 对应的区间是否跨越 $m$——它可能不跨越 $m$，也就是说 $[l,r]$ 的 $\text{mSum}$ 可能是「左子区间」的 $\text{mSum}$ 和 「右子区间」的 $\text{mSum}$ 中的一个；它也可能跨越 $m$，可能是「左子区间」的 $\text{rSum}$ 和 「右子区间」的 $\text{lSum}$ 求和。三者取大。

• 时间92ms(63.50%)，内存64.87MB(59.37%)。

力扣官方 注：这个分治方法类似于「线段树求解最长公共上升子序列问题」的 pushUp操作。 也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐阅读线段树区间合并法解决多次询问的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

class Solution {
public:
    // 每个区间[l,r]都定义了四种量
    struct Status {
        int lSum, // 区间[l,r]内，以 l 为左端点的最大子段和
            rSum, // 区间[l,r]内，以 r 为右端点的最大子段和
            mSum, // 区间[l,r]内的最大子段和
            iSum; // 区间[l,r]的区间和
    };
    // 根据左右子区间的信息，计算当前区间的信息
    Status pushUp(Status l, Status r) {
        int iSum = l.iSum + r.iSum;
        int lSum = std::max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
        int rSum = std::max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
        int mSum = std::max(std::max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
        return Status { lSum, rSum, mSum, iSum };
    };
    // 分治法：采用递归思想
    Status get(std::vector<int>& a, int l, int r) {
        // 长度为1，直接返回
        if (l == r) {
            return Status { a[l], a[l], a[l], a[l] };
        }
        // 将区间对半分，递归寻找每个子区间的信息
        int m = (l + r) >> 1;           // 区间的中点
        Status lSub = get(a, l, m);     // 左子区间
        Status rSub = get(a, m + 1, r); // 右子区间
        return pushUp(lSub, rSub);      // 根据左右子区间信息，计算当前区间最大字段和
    }
    // 主函数
    int maxSubArray(std::vector<int>& nums) {
        return get(nums, 0, nums.size() - 1).mSum;
    }
};

14. 中等-合并区间

15. 中等-轮转数组

16. 中等-除自身以外数组的乘积

17. 困难-缺失的第一个正数

矩阵

18. 中等-矩阵置零

19. 中等-螺旋矩阵

20. 中等-旋转图像

21. 中等-搜索二维矩阵II

我的思路

• 思路：

• 时间??ms(??%)，内存??MB(??%)。

官方思路：

• 思路：

• 时间??ms(??%)，内存??MB(??%)。