用分布函数定义的随机变量的独立性的合理性

随机变量的独立性是这样定义的：

如果对任意 $x,y$ 都有
$$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$$
即
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$
则称随机变量$X$与$Y$相互独立。

事件A与事件B相互独立

我们知道事件相互独立的本质其实是，事件A是否发生对事件B发生的概率无影响，同时，事件B是否发生对事件A发生的概率无影响。也就是 $P(A)=P(A|B)$ 且 $P(B)=P(B|A)$，根据条件概率公式：
$$P(A)=P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}$$
我们可以得到：
$$P(A)P(B)=P(AB)$$
同样$P(B)=P(B|A)$也能得到$P(A)P(B)=P(AB)$。
反过来，
由
$$P(A)P(B)=P(AB)$$
能得到：
$$\begin{gathered} P(A)=\frac{P(AB)}{P(B)}=P(A|B) \\ P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B|A) \end{gathered}$$

所以事件的独立性的定义是：

设$A,B$两事件满足等式
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
则称 $A$ 与 $B$ 相互独立。

随机变量X与随机变量Y相互独立

根据事件的独立性，我们自然而然地有随机变量$X$与$Y$相互独立的本质是$X$与$Y$的取值相互不影响，用分布函数和条件概率来解释就是：
$$\begin{gathered} P\{X\le x\}=P\{X\le x|Y\le y\} \\ P\{Y\le y\}=P\{Y\le y|X\le x\} \end{gathered}$$
即：
$$\begin{gathered} P\{X\le x\}=P\{X\le x|Y\le y\}=\frac{P\{X\le x,Y\le y\}}{P\{Y\le y\}} \\ P\{Y\le y\}=P\{Y\le y|X\le x\}=\frac{P\{X\le x,Y\le y\}}{P\{X\le x\}} \end{gathered}$$

我们就能得到随机变量$X$与$Y$相互独立的定义：
$$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$$
用分布函数即：
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$

随机变量X与Y相互独立以概率分布(离散型)或者概率密度(连续型)形式的充要条件

离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件

对任意的$i,j=1,2,...$，$P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$，即$p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$.

证明：

$$\begin{array}{rl}P\{X=x_i,Y=y_j\}& =P\{X\le x_i,Y\le y_j\}-P\{X<x_i,Y\le y_j\}-P\{X\le x_i,Y<y_j\}+P\{X<x_i,Y<y_j\}\\ & =P\{X\le x_i\}P\{Y\le y_j\}-P\{X<x_i\}P\{Y\le y_j\}-P\{X\le x_i\}P\{Y<y_j\}+P\{X<x_i\}P\{Y<y_j\}\\ & =(P\{X\le x_i\}-P\{X<x_i\})P\{Y\le y_j\}-(P\{X\le x_i\}-P\{X<x_i\})P\{Y<y_j\}\\ & =P\{X=x_i\}P\{Y\le y_j\}-P\{X=x_i\}P\{Y<y_j\}\\ & =P\{X=x_i\}(P\{Y\le y_j\}-P\{Y<y_j\})\\ & =P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}\end{array}$$

连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件

对任意的 $x,y$，$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$.
$$\begin{array}{rl}F(x,y)& ={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(x,y)dxdy\\ F_X(x)F_Y(y)& ={\int }_{-\infty }^x{f}_X(x)dx{\int }_{-\infty }^y{f}_Y(y)dy\\ & ={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^y{f}_X(x)f_Y(y)dxdy\end{array}$$
根据定义：
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$
即：
$${\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(x,y)dxdy={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^y{f}_X(x)f_Y(y)dxdy$$
可推出：
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

总结

由事件的独立性到随机变量的独立性，从分布函数到密度函数，直观上非常容易记忆，但是这里面其实是由细微的差异的，注意到这些细微的差异，对于构建严格的逻辑闭环，扎实数学的地基有一定作用。