用分布函数定义的随机变量的独立性的合理性

随机变量的独立性是这样定义的:

如果对任意 x , y x, y x,y 都有
P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } P\{X\leq x,Y\leq y\} = P\{X\leq x \}P\{Y\leq y\} P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}

F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称随机变量 X X X Y Y Y相互独立。

事件A与事件B相互独立

我们知道事件相互独立的本质其实是,事件A是否发生对事件B发生的概率无影响,同时,事件B是否发生对事件A发生的概率无影响。也就是 P ( A ) = P ( A ∣ B ) P(A) = P(A|B) P(A)=P(AB) P ( B ) = P ( B ∣ A ) P(B)=P(B|A) P(B)=P(BA),根据条件概率公式:
P ( A ) = P ( A ∣ B ) = P ( A , B ) P ( B ) P(A) = P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} P(A)=P(AB)=P(B)P(A,B)
我们可以得到:
P ( A ) P ( B ) = P ( A B ) P(A)P(B) = P(AB) P(A)P(B)=P(AB)
同样 P ( B ) = P ( B ∣ A ) P(B)=P(B|A) P(B)=P(BA)也能得到 P ( A ) P ( B ) = P ( A B ) P(A)P(B) = P(AB) P(A)P(B)=P(AB)
反过来,

P ( A ) P ( B ) = P ( A B ) P(A)P(B)=P(AB) P(A)P(B)=P(AB)
能得到:
P ( A ) = P ( A B ) P ( B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( A B ) P ( A ) = P ( B ∣ A ) P(A) = \frac{P(AB)}{P(B)} = P(A|B) \\ P(B) = \frac{P(AB)}{P(A)} = P(B|A) P(A)=P(B)P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(AB)=P(BA)

所以事件的独立性的定义是:

A , B A,B A,B两事件满足等式
P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
则称 A A A B B B 相互独立。

随机变量X与随机变量Y相互独立

根据事件的独立性,我们自然而然地有随机变量 X X X Y Y Y相互独立的本质是 X X X Y Y Y的取值相互不影响,用分布函数和条件概率来解释就是:
P { X ≤ x } = P { X ≤ x ∣ Y ≤ y } P { Y ≤ y } = P { Y ≤ y ∣ X ≤ x } P\{X\leq x\}=P\{X\leq x | Y\leq y\}\\ P\{Y\leq y\}=P\{Y\leq y | X\leq x\} P{Xx}=P{XxYy}P{Yy}=P{YyXx}
即:
P { X ≤ x } = P { X ≤ x ∣ Y ≤ y } = P { X ≤ x , Y ≤ y } P { Y ≤ y } P { Y ≤ y } = P { Y ≤ y ∣ X ≤ x } = P { X ≤ x , Y ≤ y } P { X ≤ x } P\{X\leq x\}=P\{X\leq x | Y\leq y\}=\frac{P\{X\leq x,Y\leq y\}}{P\{Y\leq y\}}\\ P\{Y\leq y\}=P\{Y\leq y | X\leq x\}=\frac{P\{X\leq x,Y\leq y\}}{P\{X\leq x\}} P{Xx}=P{XxYy}=P{Yy}P{Xx,Yy}P{Yy}=P{YyXx}=P{Xx}P{Xx,Yy}

我们就能得到随机变量 X X X Y Y Y相互独立的定义:
P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } P\{X\leq x, Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\} P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}
用分布函数即:
F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

随机变量X与Y相互独立以概率分布(离散型)或者概率密度(连续型)形式的充要条件

离散型随机变量 X X X Y Y Y 相互独立的充要条件

对任意的 i , j = 1 , 2 , . . . i,j=1,2,... i,j=1,2,... P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},即 p i j = p i ⋅ p ⋅ j p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j} pij=pipj.

证明:

P { X = x i , Y = y j } = P { X ≤ x i , Y ≤ y j } − P { X < x i , Y ≤ y j } − P { X ≤ x i , Y < y j } + P { X < x i , Y < y j } = P { X ≤ x i } P { Y ≤ y j } − P { X < x i } P { Y ≤ y j } − P { X ≤ x i } P { Y < y j } + P { X < x i } P { Y < y j } = ( P { X ≤ x i } − P { X < x i } ) P { Y ≤ y j } − ( P { X ≤ x i } − P { X < x i } ) P { Y < y j } = P { X = x i } P { Y ≤ y j } − P { X = x i } P { Y < y j } = P { X = x i } ( P { Y ≤ y j } − P { Y < y j } ) = P { X = x i } P { Y = y j } \begin{align*} P\{X= x_i, Y= y_j\} &= P\{X\leq x_i,Y\leq y_j\} - P\{X< x_i,Y\leq y_j\}-P\{X\leq x_i,Y< y_j\}+P\{X< x_i,Y< y_j\}\\ &= P\{X\leq x_i\}P\{Y\leq y_j\} - P\{X< x_i\}P\{Y\leq y_j\}-P\{X\leq x_i\}P\{Y< y_j\}+P\{X< x_i\}P\{Y< y_j\}\\ &= (P\{X\leq x_i\} - P\{X< x_i\})P\{Y\leq y_j\} - (P\{X\leq x_i\}-P\{X< x_i\})P\{Y< y_j\}\\ &= P\{X= x_i\}P\{Y\leq y_j\}-P\{X= x_i\}P\{Y< y_j\} \\ &= P\{X= x_i\}(P\{Y\leq y_j\}-P\{Y< y_j\})\\ &= P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\} \end{align*} P{X=xi,Y=yj}=P{Xxi,Yyj}P{X<xi,Yyj}P{Xxi,Y<yj}+P{X<xi,Y<yj}=P{Xxi}P{Yyj}P{X<xi}P{Yyj}P{Xxi}P{Y<yj}+P{X<xi}P{Y<yj}=(P{Xxi}P{X<xi})P{Yyj}(P{Xxi}P{X<xi})P{Y<yj}=P{X=xi}P{Yyj}P{X=xi}P{Y<yj}=P{X=xi}(P{Yyj}P{Y<yj})=P{X=xi}P{Y=yj}

连续型随机变量 X X X Y Y Y 相互独立的充要条件

对任意的 x , y x,y x,y f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y).
F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( x , y ) d x d y F X ( x ) F Y ( y ) = ∫ − ∞ x f X ( x ) d x ∫ − ∞ y f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f X ( x ) f Y ( y ) d x d y \begin{align*} F(x,y)&= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy\\ F_X(x)F_Y(y) &= \int_{-\infty}^xf_X(x)dx\int_{-\infty}^yf_Y(y)dy\\ &= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy\\ \end{align*} F(x,y)FX(x)FY(y)=xyf(x,y)dxdy=xfX(x)dxyfY(y)dy=xyfX(x)fY(y)dxdy
根据定义:
F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)
即:
∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f X ( x ) f Y ( y ) d x d y \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y)dxdy
可推出:
f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)

总结

由事件的独立性到随机变量的独立性,从分布函数到密度函数,直观上非常容易记忆,但是这里面其实是由细微的差异的,注意到这些细微的差异,对于构建严格的逻辑闭环,扎实数学的地基有一定作用。

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