如何深刻理解从二项式分布到泊松分布

泊松镇贴

二项分布和泊松分布的表达式

二项分布：
$$P(x=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$

泊松分布：
$$P(x=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

一个现实生活中的例子

一条汽车单向行驶的公路边有个便利店，店家经过一周的统计，得到数据：上个周一共有100辆次的车从这个便利店通过，其中有5辆次的车来买了东西。那么，店家现在想用这个数据来推测，下周，有6辆次的车会在这个便利店买东西的概率是多少？

现在，假设我们只知道二项分布而对泊松分布一无所知，我们如何通过构建二项分布的数学模型来解决这个问题呢？

这是二项分布的经典场景。对于通过的每一辆车，它只有两种可能的观测结果，那就是买东西和不买东西。这是一个 0-1 分布。现在我们做一个假设，假设每辆车通过时停下来买东西的概率是一样的（这样做假设不会影响整体的推测，因为做统计时，我们只统计了通过的车的总辆次和停下来买东西的车的总次数，也就是说做统计时每辆车是没有区别的）。通过买东西的车的总辆次 / 通过的车的总辆次，我们能得到每一辆车的 0-1 分布，任意一辆车停下来买东西的概率 P 为：$\frac{5}{100}=0.05$

行为	买东西	不买东西
P	0.05	0.95

现在，我们已经通过对之前统计的数据的分析，知道了任意一辆车通过时停下来买东西的概率。如何通过这个0-1分布来做预测？那就做独立重复实验（也就是伯努利试验），假设有 n 辆车在下个周通过该路口，每辆车停下来买东西的概率都是 p，则有 k 辆车到商店买东西的概率为：

$$P(x=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
为此，我们必须颇为无奈地对下个周通过这条路的车的总辆次做个假设，那就是也通过100辆。现在我们就能做预测啦！
$$P(x=6)=C_{100}^6\times 0.05^6\times (1-0.05{)}^{100-6}\approx 0.15$$

如果以时间为维度来考量，二项分布就会出问题

上一种通过二项分布来做预测的方法，依赖于我们需要做一个假设，即下一个周通过这条路的车的总辆次是100辆。现在我们想绕过需要对总辆次做假设这一障碍，用时间来作为观察的基准。但是因为二项分布所对应的伯努利实验的每一次实验是零散的，所以不得不将连续的时间进行分割。这就要涉及到单位时间，我们不妨把单位时间设置成小时，1周 = $7\times 24=168$ 小时。根据之前的观察，一共有 5 辆车次的车去到商店买东西，也就是说，每小时有车进商店买东西的概率为 $P=\frac{5}{168}\approx 0.02976$。好像，我们又可以像上面那样去建立一个关于单位时间的0-1分布了。但是其实这个模型缺陷就出来了，由于考察的对象是单位时间，它的结果不再只有两个，即该时间段进入商店买东西的车的数量除了0、1，还可能是2、3、4、…，所以其实用0-1分布来对单位时间进入商店的车的数量进行模拟是不太科学的。

那怎么办呢？自然而然，会想到将单位时间继续分割为更小的单位时间，如果把小时分割为分钟，那每小时就可以做60次独立重复实验，也就是说这下每小时最多可以有60辆车进入商店买东西了。但是这样仍然不满足时间这个连续的度量，要是出现极端情况，每小时有70辆车进入商店呢，这个模型又没法满足了。自然而然，我们想到将时间无限的分割下去。在非常非常小的一段时间里，我们就能做0-1分布的假设了，即在这段时间里只有 0 或 1 辆车进入商店买东西。但是无限的分割时间之后，我们还怎么计算这个无穷小的单位时间里车进入商店的概率呢？答案是，根本就不用去计算。因为我们的观测量是一个周汽车进入商店的辆次的总数，不妨把它记为 $\lambda$，它满足下面的等式：

$$\lambda =np$$
其中 n 为将一周的时间无限分割成的无穷小的单位时间的总份数，而 p 是分割成这么多份数之后，根据观测值 $\lambda$ 所计算出来的该单位时间里有车辆进入商店的概率。

从二项式公式推导泊松公式

$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{n\times n\times \cdots \times n}\frac{{\lambda }^k}{k!}(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\\ & =1\times \frac{{\lambda }^k}{k!}\times 1\times e^{-\lambda }\\ & =\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }\end{array}$$
推导之后我们发现，其实根本不需要用到 n 和 p 这两个数据，而只有观测值 $\lambda$。到这里是不是觉得泊松大大干了一件非常有价值的事情！

通过泊松分布来对这个问题进行预测

根据之前的统计，$\lambda =5$
$$P(X=6)=\frac{5^6}{6!}{e}^{-5}\approx 0.1462$$

总结

根据二项分布推导出了泊松分布，并不代表二项分布就没有泊松分布先进，只是对于解决连续时间的这种问题，显然泊松分布更好用。但是有些情况下，二项分布会更好用。