11.28~11.29基本二叉树的性质、定义、复习；排序算法；堆

完全二叉树（Complete Binary Tree）是一种特殊的二叉树结构，它具有以下特点：

1. 所有的叶子节点都集中在树的最后两层；
2. 最后一层的叶子节点都靠左排列；
3. 除了最后一层，其他层的节点数都达到最大值。

满二叉树（Full Binary Tree），又称为真二叉树，是一种特殊的完全二叉树结构，它具有以下特点：

1. 所有的叶子节点都在同一层；
2. 每个非叶子节点都有两个子节点；
3. 所有节点的子节点数都为0或2。

满二叉树是完全二叉树的一种特殊情况，每个非叶子节点都有两个子节点，而完全二叉树可以有一个或没有一个子节点。

树的定义，遍历，输入构建，一些递归复习（求叶子节点，数的高度）

ABC##DE#G##F###

5

第二次实验——二叉树中序遍历

ABD##FE###CG#H##I##

DBEFAGHCI

第十一周，后序+中序确定二叉树

树的性质

第二次实验的思考题

一棵非空二叉树，若后序遍历与中序遍历的序列相同，则该二叉树所有结点均无右孩子。

非空的二叉树一定满足：某结点若有左孩子，则其中序前驱一定没有右孩子。

二分查找法

二叉搜索树复习

寻找公共祖先

排序算法

第二次实验——快速排序的过程

5
4 5 3 2 1

输出

2 1 3 4 5 
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 5 
插入排序还是归并排序

10
3 1 2 8 7 5 9 4 6 0
1 2 3 7 8 5 9 4 6 0

Insertion Sort
1 2 3 5 7 8 9 4 6 0

10
3 1 2 8 7 5 9 4 0 6
1 3 2 8 5 7 4 9 0 6

Merge Sort
1 2 3 8 4 5 7 9 0 6

插入排序，冒泡排序，选择排序，堆排序，归并排序

第八周习题——冒泡排序

第九周习题——二路归并排序

归并排序，逆序对

第七周——插入排序

结构体排序

第九周习题——成绩排名

第八周习题——小球装箱

排序算法性质

合并排序算法是稳定的排序方法。

直接插入排序在最好的情况下时间复杂度为O(n)

直接插入排序是稳定的

逆序对，倍数对

堆的调整，构建

调整

void shiftup(int child) {//在末尾插入一个孩子，然后就这个孩子一直往上调整，这样的话调整路径都满足堆的性质
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        if (arr[parent] > arr[child]) {
            break;
        }
        else {
            swap(arr[parent], arr[child]);
            child = parent;//往上调整一步
            parent = (child - 1) / 2;//这里是先调整了孩子指针，所以这时候的父母就是父母的父母
        }
    }
}
void shiftup(int child) {
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        if (arr[parent] > arr[child]) { break; }//大顶堆，上面大，就不调整了
        else {
            swap(arr[parent], arr[child]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;

        }
    }
}
//向上调整的话就是找到最后一个孩子，然后找到它的父母节点，孩子对应的父母节点是唯一的，所以可以直接比较
//直接比较完后直接交换，直到到底
//向下调整的话就是先找到堆顶元素，然后由于堆是完全二叉树，所以对应两个孩子，找到最小的孩子，然后调整
//调整后，使被调整的孩子作为父母节点，找到其左孩子节点
//即，向上调整只需要找到一个节点信息，即当下节点信息，就可以确定父母节点，单向比较即可
//而向下调整需要两个节点信息，一个是当下节点信息（父母节点），还要直到它是否有孩子，默认为左孩子，然后判断一下有没有右孩子
//由此向下递归进行需要两个信息，一个父母节点，一个孩子节点，递归时默认孩子节点为左孩子，2*cur+1,然后尝试找右孩子
//如果在下次递归时，左孩子越界，那就说明此时父母节点已是叶子节点，到底了，无法继续调整。
void shiftdown(int[]arr, int size, int parent) {
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < size) {
        if (child + 1 < size && arr[child + 1] > arr[child]) {
            child += 1;
        }
        if (arr[parent] < arr[child]) {
            swap(arr, parent, child);
            parent = child;//由此，完成向下移动，
            child = parent * 2 + 1;//孩子与父母指针都向下移动
        }
        else {
            return;
        }
    }
}

void shiftdown(int[]arr, int parent) {//父母直接，指向要交换的元素
    int child = 2 * parent + 1;//孩子指针，指向要交换的元素
    int size = arr.length();
    while (child < size) {//只要有这一步，就说明当下节点至少存在左孩子
        if (child + 1 < size && arr[child + 1] < arr[child]) {
            child += 1;//如果向右一个单位存在，就说明当下节点有右孩子，找最小的
        }//确定较小的孩子
        if (arr[parent] <= arr[child]) {
            break;
        }
        else {
            int t = arr[parent];
            parr[parent] = arr[child];
            arr[child] = t;
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
    }
}

如果左孩子存在，则child

检测右孩子是否存在，找左右孩子中最小的孩子

堆的创建

这个就是先输入，输入一个数组，输入完后再开始调整，从最后一个非叶子结点开始，然后不断往上往回走，进行向下调整

public static void createHeap(int[] array) {
    // 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
    for(int root = (array.length-2)/2; root >= 0; root--){
            shiftDown(array, array.length, root);
    }
}

插入，边插边保持堆

int arr[100];
int siz = 0;
void shiftup(int child) {
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        if (arr[parent] >= arr[child]) {
            break;
        }
        else {
            swap(arr[parent], arr[child]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
    }
}
void insert(int num) {
    arr[siz++] = num;
    shiftup(siz - 1);
}

二叉树指针关系

对于二叉树的孩子双亲指针指引，如果是从1开始记录的，那么

左孩子结点索引 = 2 * i 右孩子结点索引 = 2 * i + 1

其中，i表示当前结点的索引位置。

当索引从1开始记录时，根节点的索引为1，其左孩子结点的索引为2，而右孩子结点的索引为3。对于任意结点i，其左孩子结点的索引位置为2 * i，右孩子结点的索引位置为2 * i + 1。

如果是从0开始记录的，

二叉树以数组形式存储时，一般约定根节点的索引位置为0，其左孩子结点的索引位置为1，右孩子结点的索引位置为2。对于任意结点i，其左孩子结点的索引位置为2 * i + 1，右孩子结点的索引位置为2 * i + 2。

堆的一些性质

下标从0开始计数的堆，大小为size时，其最后一个非叶子结点是(size-2)/2;

最后一个叶子结点的下标为size-1.

由于是下标从0，所以对结点i而言，其双亲结点下标为(i-1)/2

(如果下标从1开始，那么整体往右偏移一位）

所以对于下标为size-1的结点，它的双亲结点为(size-1-1)/2;

最大堆（大顶堆、max-heap）从根结点到其它任一结点的路径上的所有结点值是从大到小排列的。

第十二周堆的操作，堆的建立

找第k小