这筐鸡蛋有多少？——趣题解析

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一筐鸡蛋：
1个1个拿，正好拿完。
2个2个拿，还剩1个。
3个3个拿，正好拿完。
4个4个拿，还剩1个。
5个5个拿，还差1个。
6个6个拿，还剩3个。
7个7个拿，正好拿完。
8个8个拿，还剩1个。
9个9个拿，正好拿完。
问筐里最少有多少鸡蛋？

        这是一个网上流传的有点儿趣味的问题，可以作为消遣。这个问题可以归结到求不定方程的正整数解，和韩信点兵问题类似，是属于初等数论的问题。关键是在众多的条件中找出本质的东西来。

第一个条件是废话。

第二个条件说明鸡蛋是奇数。

第三个条件被第九个条件涵盖了，就是说被9整除的数一定能被3整除。

第四个条件被第八个条件涵盖了，就是说被8除余1的数被4除必定余1。

第五个条件可以假设鸡蛋数x=5n+4,（n为正整数）。

第六个条件归结为鸡蛋数是9的奇数倍就行（因为9的偶数倍中含有因子6）。

因为7与9互质，所以第七第九个条件合并为鸡蛋数必须是63的整数倍。

第八个条件可以假设鸡蛋数

x=8m+1，（m为正整数）。

        综合上面的分析，鸡蛋数必须满足:

1、63的奇数倍；

2、5n+4=8m+1,即8m-5n=3。解这个二元一次不定方程，得到满足此条件的鸡蛋数x=40t+9,（t为正整数）。

        于是，所有需要满足的条件等价于下列不定方程:

63（2k－1）=40t+9

整理得:63k-20t＝36

解这个二元一次不定方程得通解

k=12+20i

t=36+63i （i为非负整数）

i=0时，得k=12,代入63（2k-1）,得鸡蛋最少有1449个。

        下面给出一个解法，也许对于非专业的人来说更通俗易懂。

        由上面的分析知道，首先是鸡蛋数必须是63的奇数倍。然后考虑第五个条件。

        被5除余4的奇数有什么特征呢？不难得到这个数必须是5的奇数倍再加上4（否则，5的偶数倍加上4成了偶数了），因此，这个数的个位数必须是9。

        63用一个奇数去乘，要使得个位数出现9，那么，这个奇数的个位数必须是3，比如:

63×3＝189；63×13＝819；

63×23＝1449；63×33＝2079……

然后用8去试除，余1的就是答案。1449正好满足。

        抛砖引玉，希望网友有更好的解法。

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