【11】整数问题

题11.1 已知，求证：
(1) 不是整数。
(2) 区间中没有整数。

证明 (1) 假设是正整数，则关于b的二次方程
有正整数解，这说明是平方数。
由，故是平方数。
另一方面，因，故，展开移项化简得：这与是正整数矛盾。所以假设不成立，所以 不是整数。
(2) 假设有整数，根据(1)，区间的左端点不为整数，所以：

则：

或
上面不等式合并得：

或

(11.1.2)蕴含着，舍去。
注意到：

故，于是可以作带余除法：
将之代入(11.1.1)得：

因，令，则上式变为：

其中，这说明，若存在使区间内有整数，则必存在，使区间有整数。这就构造了一个无穷递降，矛盾。所以假设不成立，命题成立。

题11.2 证明： 是无理数。
证明 假设是有理数，那么存在互素的正整数，满足，从而有
于是知，所以存在一个，使

代入(11.2.1)，化整并整理得：
所以，因，故。这与矛盾。假设不成立，命题成立。

评注11.3 题11.2是一个古老的问题，一般使用无穷递降法解决，(11.2.2)巧妙构造并利用带余除法，推导一个整除性矛盾，最终证明了命题。