图的广度、深度优先搜索和拓扑排序

广度优先搜索

广度优先搜索是最简单的图搜索算法之一。之所以得名是因为该算法始终将已经发现的结点集合，沿着其广度方向向外扩展去寻找未发现结点。
具体算法执行过程如下图所示：

1. 图1-1是初始的图，S为源点，从S出发广度优先搜索所有节点

   
   
   图1-1

2. 源S出发广度向外扩展距离为1的结点

   
   
   图1-2

3. 结点V1出发广度搜索，找到V4

   
   
   图1-3

4. 结点V3出发广度搜索，找到V5和V6。至此广度优先搜索找到了所有节点。

   
   
   图1-4

5. 广度优先搜索每个结点被搜索到的顺序具有不确定，与图的表示方式（邻接矩阵和邻接链表）中每个节点顺序或者读取顺序有关。

深度优先搜索

深度优先搜索，只有可能就在图中尽可能的深入，总是从最近才发现的结点出发，寻找下一个结点。
具体算法执行过程如下图所示：

1. 源S出发进行深度优先搜索

   
   
   图2-1

2. S出发首先搜索到结点V1，然后从V1出发

   
   
   图2-2

3. V1出发继续深入，搜索到V4

   
   
   图2-3

4. V4出发深入搜索到V6

   
   
   图2-4

5. V6出发找到V3

   
   
   图2-4

6. V3到V5

   
   
   图2-5

7. 最后找到V2

   
   
   图2-6
8. 同样的，深度优先搜索结点被搜索到的顺序也是不确定。图示中只是给出了一种可能的情况。但是无论结果中结点的顺序如何，都要遵循着从最近发现的结点出发深入搜索的原则。

拓扑排序

拓扑排序是计算机中经常遇到的概念，下面用于《算法导论》的定义

拓扑排序是图G中所有结点的一种线性次序，该次序满足如下条件：如果图G包含边（u，v），则结点u在拓扑排序中处于结点v的前面（如果图G包含环路，则不可能排出一个线性次序）。
------摘自《算法导论》第三版

如下图3-1所示，事件E1完成之后，可以同时执行事件E2和E3，两事件执行结束之后，执行事件E4，最后可以同时执行事件E5和E6。每个事件的执行都依赖于它之前事件是否执行完成，执行的顺序是固定的，这样的线性顺序就是拓扑排序。

图3-1

总结

图的广度、深度优先搜索和拓扑排序是图论算法中的基础，也是实践中经常遇到的问题。在考研和面试笔试中会通过选择题或者填空题考察，学习理解上文图示中的算法思想，辅助练习问题不大。当然也有关于这里的算法题，例如LeetCode815公交路线问题，就是利用图的广度优先搜索求解，因为解题复杂，并且在平时的应试中出现概率不大，这里不做详细讲解。有兴趣的可以在LeetCode中搜索，题目后面有我提交过的题解。

LeetCode815公交路线问题，我提交的题解