从零学算法400

400.给你一个整数 n ，请你在无限的整数序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …] 中找出并返回第 n 位上的数字。
示例 1：
输入：n = 3
输出：3
示例 2：
输入：n = 11
输出：0
解释：第 11 位数字在序列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … 里是 0 ，它是 10 的一部分。

• 最开始 n 对应的就是 n，但是当数字成为两位数之后就开始对不上了，所以能想到这题的关键在于随着数字位数的变化，如何找到 n 对应的结果，为了方便称呼先定义几个概念：
• 位数(digit)：这个数字有几位，比如两位数，三位数
• 数位：比如数字 10，11，12 组成的序列 101112，其中每一位都是一个数位，其实也就是题目所说的序列上的某一位
• 数字(num)，比如 10，11，12 ，这三个数都是数字
• 起始数字(start)：某位数最小的数字，比如两位数的范围是 10~99，start 就是 10
• 数位数量(count)：只算 n 位数包含的数位数量，比如两位数为 10~99 ，有 90 个 两位数(每个数的数位数量为 2)，所以位数数量为 90 * 2 = 180
• 现在我们知道关键在于位数变化，所以研究位数变化带来的一些规律
  
• 位数递推公式：观察从一位数，两位数，三位数的变化，所以 digit(i+1) = digit(i) + 1
• 起始数字递推公式：最小一位数为 1，最小两位数为 10…所以 start(i+1) = start(i) * 10
• 数位数量计算公式：n 位数范围内的数位数量总和，比如一位数包含了 9 个 一位数，所以为 9*1；两位数包含了 90 个 两位数，所以为 90*2；三位数包含 900 个三位数所以为 900*3，所以规律其实就是 count = 9 * start * digit
• 接下来我们第一步先确定 n 对应的数是几位数，其实 n 对应的是数位数量，所以我们就让 n 不断减去 count，直到 n <= count，就能得到 n 对应几位数。
• 第二步我们确定一下他对应具体数字 num 为什么，将第一步计算完剩下的 n 整除 digit ，再加上起始值 start 就知道它对应哪个数，但是其实我们的推导过程都没去管 0 这个数，它也算一个数位，所以实际上 num 应该是 start + (n-1)/digit;
• 确定完了 num，同理还是用 n-1，让它对 digit 取余我们就知道他在这个数的第几位，所以把 num 转为 string，num.charAt((n-1)%digit) 就是最终对应的字符，转为数字即为最终结果

•   public int findNthDigit(int n) {
        long start = 1;
        int digit = 1;
        long count = 9;
        // 第一步
        while(n > count){
            n -= count;
            start*=10;
            digit++;
            count = start * digit * 9;
        }
        // 第二步
        long num = start + (n-1)/digit;
        // 第三步
        return Long.toString(num).charAt((n-1)%digit) - '0';
    }
  

• 这是从 0 开始处理版本，不忽略 0，start 在观察一位数时为 0~9 的 0，之后才符合我们的递推公式，那么 count 也是在为一位数时为 10，之后符合递推公式，这样之后就不用 n-1，直接用 n 即可

•   public int findNthDigit(int n) {
        long start = 0;
        int digit = 1;
        long count = 10;
        while(n > count){
            n -= count;
            if(start==0)start=10;
            else start*=10;
            digit++;
            count = start * digit * 9;
        }
        long num = start + n/digit;
        return Long.toString(num).charAt(n%digit) - '0';
    }