彻底明白回溯算法【三个例子】

回溯算法可以理解为一种通过试错的方式来达到问题的解决。在解决问题过程中，当它通过尝试发现现有的解决方案不行时，它会取消上一步甚至是上几步的计算，再通过其他的可能的分步解决方案继续尝试寻找问题的答案。回溯算法非常适合用来解决由多个步骤组成的问题，其中每个步骤都有多个选项。当我们在某一步选择了其中一个选项时，就进入到了下一步，然后面临新的选择。我们就这样重复选择和进入下一步的过程，如果发现某一步的选择无论如何都无法达到最终的要求，就退回到上一步，重新选择，这样反复进行，直到找到可能的解决方案或所有的选项都试过，但没有办法得到满意的解决方案。

回溯算法通常用递归的方式实现，递归是函数自己调用自己的一种方式，使用递归可以使问题的解决方案更加简洁明了。在编程实现中，回溯算法可以被划分为三个主要的部分：

1. 路径：它记录了从起点到当前点的路径。
2. 选择列表：它记录了你当前可以做的选择。
3. 结束条件：它判断当前的路径是否满足题目的要求，并结束递归。

接下来，我会通过三个经典回溯算法问题来详细说明这个算法的实现。

经典问题一：N皇后问题

问题描述：

在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，需要满足皇后之间互不攻击的条件（即任意两个皇后不能处在同一行、同一列以及同一斜线上）。求解所有可能的配置方式。

解题思路：

• 路径：采用一个数组来表示棋盘上皇后的摆放位置。数组的下标表示皇后所在的行，数组元素的值表示皇后所在的列。例如，queens[i]=j表示第i行的皇后放在第j列。
• 选择列表：对于每一行，都需要选择一个不冲突的列位置。可以定义一个函数，这个函数检查当前列和斜线上是否已经有皇后存在。
• 结束条件：所有的行都成功放置了皇后。

下面是C++实现的代码示例，代码中将包含详细的中文注释：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

// 检查当前放置的皇后和之前的皇后是否冲突
bool isSafe(int row, int col, vector<int> &position) {
    for (int i = 0; i < row; ++i) {
        // 检查列冲突和对角线冲突
        if (position[i] == col || abs(row - i) == abs(col - position[i])) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 回溯函数，尝试在棋盘的每一行放置皇后
void placeQueens(int row, int n, vector<int> &position, vector<vector<string>> &solutions) {
    if (row == n) { // 所有的皇后都放置好了，转换为输出格式
        vector<string> board(n, string(n, '.'));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            board[i][position[i]] = 'Q';
        }
        solutions.push_back(board);
    } else {
        for (int col = 0; col < n; ++col) { // 遍历当前行的每一列
            if (isSafe(row, col, position)) { // 判断是否可以放置皇后
                position[row] = col; // 放置皇后
                placeQueens(row + 1, n, position, solutions); // 递归放置下一行的皇后
                // 回溯部分，撤销当前行的皇后放置
            }
        }
    }
}

vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
    vector<vector<string>> solutions; // 存储所有解决方案
    vector<int> position(n); // 每行皇后的放置位置
    placeQueens(0, n, position, solutions); // 从第一行开始放置皇后
    return solutions;
}

int main() {
    int n = 8; // 可以改变这个值来求解不同大小的棋盘
    vector<vector<string>> solutions = solveNQueens(n);
    cout << "There are " << solutions.size() << " solutions to the " << n << "-Queens problem." << endl;
    for (auto &solution : solutions) {
        for (auto &row : solution) {
            cout << row << endl;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

在上面的代码中，我们首先定义了一个辅助函数isSafe，它用于检查在当前行的某一列放置皇后是否会发生冲突。然后，placeQueens函数用于递归尝试在棋盘上放置皇后，它首先会检查整个棋盘是否已经放满皇后，如果已经放满了，就会生成一个解决方案并添加到solutions列表中。在放置皇后时，如果在某一列上放置皇后不发生冲突，那么就在那一列放置皇后，并递归地放置下一行的皇后。一旦发现这一列不能放置皇后，或者放置了皇后之后，下一行没有合适的位置可以放置皇后，就会进行回溯，撤销当前的放置并尝试下一列。

经典问题二：全排列问题

问题描述：

给定一个不含重复数字的数组，返回其所有可能的全排列。

解题思路：

• 路径：记录一个排列中已经选择过的数字。
• 选择列表：记录当前可以选择的数字。
• 结束条件：当排列长度等于输入数组的长度时，说明一个完整的排列已经构建完成。

#include 
#include 
using namespace std;

void backtrack(vector<int> &nums, vector<vector<int>> &res, vector<int> &track, vector<bool> &used) {
    // 结束条件：路径长度等于数组长度，说明已经完成了一次排列
    if (track.size() == nums.size()) {
        res.push_back(track);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        // 排除不正确的选择，如果数字已经在路径中，则不能再被选择
        if (used[i]) continue;
        // 做选择
        track.push_back(nums[i]);
        used[i] = true;
        // 进入下一层决策树
        backtrack(nums, res, track, used);
        // 取消选择
        track.pop_back();
        used[i] = false;
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> track; // 路径，记录在 track 中的排列顺序
    vector<bool> used(nums.size(), false); // 使用一个数组标记元素是否在路径中被使用
    backtrack(nums, res, track, used); // 调用回溯函数
    return res; // 返回结果
}

int main() {
    vector<int> nums = {1,2,3};
    vector<vector<int>> res = permute(nums);
    for (auto &perm : res) {
        for (int num : perm) {
            cout << num << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

以上代码首先定义了backtrack函数，用来进行回溯搜索排列。在搜索过程中，我们用一个track数组来记录当前的选择路径，用一个used数组来标记数组中的元素是否被使用过。当track数组的大小等于输入数组nums的大小时，说明已经得到了一个完整的排列，将其添加到结果列表res中。在每一次尝试选择数组中的一个数字放入路径时，需要检查这个数字之前是否已经被使用过了，如果已经使用过，则跳过，反之则加入到路径中，并标记为已使用，然后递归地进行下一次选择。当一次递归返回时，取消当前的选择，继续尝试其他的数字。

经典问题三：组合总和问题

问题描述：

给定一个无重复元素的数组和一个目标数 target，找出数组中所有可以使数字和为 target 的组合。数组中的数字可以无限制重复被选取。

解题思路：

• 路径：记录当前的组合路径，即哪些数字被选取了。
• 选择列表：表示当前可以选择的数字，由于可以重复选择，所以选择列表始终是原数组。
• 结束条件：当路径中的数字和等于 target 时，将当前组合放入结果列表中；如果和大于 target，结束当前路径的搜索。

#include 
#include 
using namespace std;

// 回溯
void backtrack(vector<int>& candidates, int target, vector<int>& track, int start, vector<vector<int>>& res) {
    // 如果路径上数字和已经大于 target，结束递归
    if (target < 0) {
        return;
    }
    // 当组合中数字和等于 target，将它加入结果集中
    if (target == 0) {
        res.push_back(track);
        return;
    }
    // 从 start 开始防止产生重复的组合
    for (int i = start; i < candidates.size(); i++) {
        // 选择当前数字
        track.push_back(candidates[i]);
        // 由于数字可以重复选择，下一轮还从 i 开始
        backtrack(candidates, target - candidates[i], track, i, res);
        // 撤销选择
        track.pop_back();
    }
}

vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> track;
    backtrack(candidates, target, track, 0, res);
    return res;
}

int main() {
    vector<int> candidates = {2,3,6,7};
    int target = 7;
    vector<vector<int>> res = combinationSum(candidates, target);
    for (const auto &comb : res) {
        for (int num : comb) {
            cout << num << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

在上述代码中，backtrack函数采用了额外的变量start来防止产生重复的组合。我们将所有可能的数字组合搜索一遍，如果当前路径上数字的和大于目标数target，我们就停止递归；如果和等于目标数，则将这个组合保存到结果列表中。与全排列的问题不同，由于每个数字可以被无限次选择，我们在下一个递归调用仍然从当前位置开始。

以上介绍的三个问题都是回溯算法问题的典型代表。通过这些例子，可以看出回溯算法是一种框架通用的算法，适用于多种问题的求解。它通过在问题的解空间树中，利用深度优先搜索的策略，尝试每一种可能的解法。如果当前走的路径最终不可能到达正确答案，算法就会返回，尝试其他的路径，这就是所谓的“回溯”。尽管回溯算法在最坏情况下的时间复杂度比较高，但通过适当的剪枝优化，通常可以大幅度提高算法的效率，使其成为解决许多组合问题的有力工具。

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