高等数学：函数与极限题选(2)

1.根据函数极限的定义证明：

证：

2.当时,,求取值,使当时,

解：

3.当时,,求X取值,使当时,

解：

4.证明函数f(x)=|x|当时极限为零

5.根据函数极限的定义证明：f(x)当时极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等

证：

6.叙述时函数极限的局部有界性定理并证明

解：

7.根据定义证明为当时的无穷小

证明：

8.根据定义证明为当时的无穷大,并求x满足什么条件使

证明：

9.根据定义填写下表

$\begin{array}{c|c|c|c} &f(x)\to A&f(x)\to\infty&f(x)\to +\infty&f(x)\to -\infty\\ \hline x\to x_0& & & & \\ \hline x\to x_0^+& & & & \\ \hline x\to x_0^-& & & & \\ \hline x\to \infty& & & & \\ \hline x\to +\infty& & & & \\ \hline x\to -\infty& & & & \end{array}$

解：

$\begin{array}{c|c|c|c} &f(x)\to A&f(x)\to\infty&f(x)\to +\infty&f(x)\to -\infty\\ \hline x\to x_0&\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0\\ &当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,&当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,&当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,&当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to x_0^+&\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0\\ &当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,&当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,&当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,&当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to x_0^-&\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0\\ &当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,&当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,&当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,&当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to \infty&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,\\ &当|x|\gt X时,&当|x|\gt X时,&当|x|\gt X时,&当|x|\gt X时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to +\infty&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,\\ &当x\gt X时,&当x\gt X时,&当x\gt X时,&当x\gt X时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to -\infty&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,\\ &当x\lt -X时,&当x\lt -X时,&当x\lt -X时,&当x\lt -X时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\end{array}$

10.函数y=xcosx在内是否有界,是否为时的无穷大

解：

11.证明：函数y=在区间(0,1]内无界,但这函数不是时的无穷大

证：

法二：

高等数学：函数与极限题选(2)

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