LCA算法（求两节点最近公共祖先）

最近公共祖先是指在有根树中，某两个节点u和v最近的公共祖先

祖先是指当前节点到树根的路径上所有的节点

如果v本身是u的祖先，那么u和v的最近公共祖先就是v

比如G和B的最近公共祖先，B本身就是G的祖先，那么B就是G和B的最近公共祖先

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可以利用LCA求解树上任意两点之间的距离

求解LCA的方法有很多，包括暴力搜索法，树上倍增法，在线RMQ算法 ， 离线Tarjan算法

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暴力搜索法

暴力搜索法有两种思路：

第一种是向上标记法：从u向上一直到根节点，标记所有经过的节点

此时如果v已经被标记，则v就是u和v的最近公共祖先节点

否则v也向上走，第一次遇到已标记的节点，该节点即为LCA（u,v）

第二种是同步前进法：将u和v种深度较深的那个节点向上走到和深度较浅的节点同一深度，然后两个一起向上走，直到走到同一个节点，该节点就是u和v的最近公共最先

如果较深的那个节点u到达和v同一深度时，那个节点正好就是v，那么v节点就是u和v的最近公共祖先节点

暴力搜索法求解LCA ， 两种思路的时间复杂度最坏下均为O（n）时间

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树上倍增法

F[i ,j] 表示 i 的 2j 倍祖先，即 i  节点向根节点走2j 步到达的节点

然后利用ST 表，求解LCA

和前面暴搜中第二种同步前进法一样的，先让深度大的节点y向上走到与x同深度 ， 然后x和y一起向上走，和爆搜不一样的是，向上走的按照倍增思想走的，不是一步一步地向上走，因此速度更快

怎么让深度大的节点y向上走到与x同深度呢？？

总结：按照增量递减的方式，到达的节点深度比x的深度小时，什么也不做，到达的深度大于等于x深度时，y上移，直到增量为0，此时x，y在同一深度

x和y一起向上走，怎么找到最难公共祖先节点呢？？

假设x，y已经到达同一深度，现在一起向上走，假设k=3

1.x和y同时向上走2^3,到达是节点相同，什么也不做

2.减少增量，x，y同时向上走2^2步，此时到达的节点不同，x，y上移 x=F[x][2]  , y=F[y][2]

3.减少增量，x，y同时向上走2^1步，此时到达的节点不同，x，y上移 x=F[x][1]  , y=F[y][1]

4.减少增量，x，y同时向上走2^0步，此时到达的节点相同，什么也不做

总结：按照增量减少的方式，到达的节点相同时，什么也不做，到达的节点不同时，同时向上移，直到增量为0，此时，x，y的父节点即为公共祖先节点