数据结构专题——二叉树

什么是二叉树

通俗的讲就是树上每一个节点最多有两个子节点
官方的递归定义是：

1. 要么二叉树没有根节点，是一颗空树
2. 要么二叉树由根结点、左子树、右子树组成，且左右子树也都是二叉树

这里有两种特殊的二叉树。

1. 满二叉树：每一层的结点个数都达到了当层能达到的最大结点数
   
2. 完全二叉树：除了最下面一层，其他层的节点个数都达到了当曾能达到的最大结点数，且最下面一层只从左到右连续存在若干个结点，而这些连续结点的右边的结点全部不存在
   
   这里再介绍几个常用的概念
   孩子结点：与该结点相连的下一层结点
   父亲结点：与该结点相连的上一层结点
   兄弟结点：拥有同一父亲结点的结点
   祖先结点：该结点的父结点到根结点连线上的所有结点
   子孙结点：该结点以下的所有结点
   注意自己既是自己的祖先结点也是自己的子孙结点

二叉树的存储结构和基本操作

1.二叉树的存储结构

二叉树是以链表的形式来存储的，每个结点由地址域，数据域和两个指针域构成。
创建二叉树的结点类，由于java没有引用，所以需要比C++多增加一个父结点

public class BinaryNode{
    int data; //数据域，使用泛型
    BinaryNode lchild;//左节点
    BinaryNode rchild;//右结点
    BinaryNode pnode; //父结点
    //构造方法
    public BinaryNode(int data) {
   		 this.data = data;
    }
    public  BinaryNode(){
    }
}

2.二叉树的建立查找和修改

创建新结点

new BinaryNode(data)

查找结点

 /**
     * 会把所有data结点的值都改为newdata,使用深度优先的方法遍历整个树
     * @param root 根结点
     * @param data 需要查找并修改的数据
     * @param newdata 修改后的数据
     * @return
     */
    public static  void search(BinaryNode root,int data,int newdata ){
        if(root==null){
            return ; //没有找到该结点，返回
        }
        if(root.data==data){
            root.data=newdata;
        }
        search(root.lchild,data,newdata);
        search(root.rchild,data,newdata);
    }

插入结点
方法一：这里需要定义一个全局变量，因为java中没有引用，没办法将改变后的地址往上传，所以用一个全局变量记录递归上一层的地址

/**
     *  以搜索二叉树的方法插入结点
     * @param root
     * @param x
     */
    private static BinaryNode tree;//定义一个全局变量
    public  static void insert(BinaryNode root,int x){
        //判断是否为空树
        if(root==null){
            BinaryNode node=newNode(x);
            node.pnode=tree;
            if(tree.data<=x){
                tree.rchild=node;
            }else{
                tree.lchild=node;
            }
            return;
        }
        tree=root;
        if(root.data<=x){
            insert(root.rchild,x);
        }else{
            insert(root.lchild,x);
        }
    }

方法二：这个比上面一个方法简单了很多，并且不用定义全局变量，也不用pnode属性，这是因为这个方法在递归前已经判断子节点存不存在，就不用考虑引用的问题了（推荐）

 public  static void insert(BinaryNode root,int x){
        if(root.data<=x&&root.rchild!=null){
            insert(root.rchild,x);//如果右子结点存在且新结点大于等于该结点
        }else if(root.data>x&&root.lchild!=null){
            insert(root.lchild,x);//如果左子结点存在且新结点小该结点
        }else if(root.data<=x){
            root.rchild=new BinaryNode(x);
            return;//如果右子结点不存在且新结点大于等于该结点
        }else{
            root.lchild=new BinaryNode(x);
            return;如果左子结点不存在且新结点小该结点
        }
    }

建立二叉树

BinaryNode BinaryNode = newNode(3);//创建根结点
insert(BinaryNode,2);
insert(BinaryNode,5);
insert(BinaryNode,7);
insert(BinaryNode,4);
insert(BinaryNode,1);
insert(BinaryNode,9);

二叉树的遍历

先序遍历

 public void preOrder(BinaryNode root){
        if(root==null){
            return ;
        }
        System.out.println(root.data);
        preOrder(root.lchild);
        preOrder(root.rchild);
    }

中序遍历

public void inorder(BinaryNode root){
        if(root==null) {
            return;
        }
        preOrder(root.lchild);
        System.out.println(root.data);
        preOrder(root.rchild);
    }

后序遍历

 public void postorder(BinaryNode root){
        if(root==null) {
            return;
        }
        preOrder(root.lchild);
        preOrder(root.rchild);
        System.out.println(root.data);
    }

层序遍历，Queue是一个接口，LinkedList实现了该接口，使用poll，peek，offer方法

public  void layerOrder(BinaryNode root){

        Queue<BinaryNode> queue = new LinkedList<>();//Queue是一个接口，LinkedList实现了该接口
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()){
            BinaryNode peek=queue.peek();
            System.out.println(peek.data);
            if(peek.lchild!=null)    queue.offer(peek.lchild);
            if(peek.rchild!=null)    queue.offer(peek.rchild);
            queue.poll();
        }
    }

最后一个问题经常考虑的就是给定一棵二叉树的先序和中序，重建这颗二叉树，只有有中序排列的二叉树才能重建

    BinaryNode create(int preL,int preR,int inL,int inR,int[] pre,int[] in){
        if(preL>preR){
            return null;
        }
        BinaryNode root=new BinaryNode();
        root.data=pre[preL];
        int k;
        for(k=inL;k<=inR;k++){
            if(in[k]==pre[preL]){
                break;
            }
        }//在中序遍历中获得根结点
        int numLeft=k-inL;
        root.lchild=create(preL+1,preL+numLeft,inL,k-1,pre,in);
        root.rchild=create(preL+numLeft+2,preR,k+1,inR,pre,in);
        return  root;
    }