线性代数之初等变换(1)

矩阵的初等变换，初等变换是一动作，有三种方式

1.交换两行

交换第一行和第二行

2.用K乘某一行

设K=6，乘以第一行

3.某一行的L倍加到另一行

第一行的-3倍加到第三行

行列式也有类似的变换：

1.行列式两行交换，要变号

-

2。用K乘某一行等于K*行列式   

k*

何任一个矩阵可以通过初等变换化成标准型。

矩阵A通过初等变换后得到的矩阵B是等价的。

初等方阵

对E做一次初等变换得到的矩阵

交换两行

交换1，3行后  交换单位矩阵E(i,j)

E(I,J)的逆 是本身   (i,j)=E(i,j)

2.用k(k0)乘某行

*5

E(i,j)的逆是

3.某行的第L倍加到另一行上去

L为5设

(i,j*l)->E(i,j*-l)

方阵的逆是其

三种初等方阵均可逆，

1.初等方阵均可逆，且其逆矩阵也是初等方阵

初等方阵的转置矩阵也是初等方阵

E(2(3)):表示单位方阵的第二行乘以3

E（1,3)表示1，3行进行交换

用一个初等方式去左乘A，相当于对A实施同等初等行变换

用一个初等方阵去右乘A，相当于对A实施同等初等列变换

A=

E的行乘以A的列,将值按行放

E(2(3))*A*A=

A*E(2(3))A*E=

任意矩阵A可以通过初等变换化为标准形

如果AB等价存在可逆矩阵P,Q,使得PQA等于B。

何谓等价即A经过初等变换得到B。

A如果做初等行变换，则左乘初等矩阵。

如果做初等列变换，则右乘初等行变换。

矩阵ABC可逆，则它们相乘也可逆

A可逆，A的标准形为E

A可逆可以表现为一些初等矩阵的乘积

A左乘初等矩阵或者右乘初等矩阵等于单位阵

初等行变换法

（A,E)----->(只做行变换)---->(E,)

(A,E)=

第一行*-2加到第二行

第一行*3加到第三行(把它们看成整体)

第二行*-2加到第三行

第三行*1加到第二行

第三行* 加到第一行

第三行再乘以1/2 可得

即得=

这就是初等行变换法求逆矩阵

如下为不可逆的矩阵

A=

进行初等行变换

(A,E)= 

第二行乘-2加到第三行

然后第一行*-2加到第二行，得

你会发现第三行的左3列全为0，根本不可能变换成左3列成单位矩阵，说明A矩阵不可逆，A的行列式为0。