全微分方程@曲线积分的基本定理(公式)

abstract

• 全微分方程
  • 利用二元函数的全微分求积,可以求解全微分方程
• 曲线积分的基本定理(公式)

全微分方程

• 一个方程写成$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=$0$(1)的形式后,若它的左端恰好是某一个函数$u(x,y)$的全微分:$\mathrm{d}u(x,y)$=$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(2),则方程(1)称为全微分方程

全微分方程的解

• 显然,若方程(1)的左端式函数$u(x,y)$的全微分,则$u(x,y)=C$(3),(其中 $C$是任意常数)就是全微分方程(1)的隐式通解
• 由曲线积分与路径无关判定定理,以及通过线积分的全微分求积公式:$u(x,y)$=${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(4)可知,当$P(x,y)$,$Q(x,y)$在单连通域$G$内具有一阶连续偏导数式,方程(1)称为全微分方程的充要条件为$P_y$=$Q_x$(5)在区域$G$内恒成立
• 且当此条件满足时,全微分方程的通解为$u(x,y)\equiv {\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=$C$(6)
• 其中$x_0,y_0$是在区域$G$内适当选定的$M_0$的坐标

例

• 求$(5x^4+3x{y}^2-y^3)\mathrm{d}x$+$(3x^{2}y-3x{y}^2+y^2)\mathrm{d}y$=$0$(1)

• 解

  • 猜测该方程为全微分方程,作以下验证

    • 设$P(x,y)$=$5x^4+3x{y}^2-y^3$;$Q(x,y)$=$3x^{2}y-3x{y}^2+y^2$,

    • 则$P_y$=$6xy-3y^2$=$Q_x$

  • 因此方程(1)确实为全微分方程

  • 在$G$区域$(x,y\in (-\infty ,+\infty ))$内选择坐标$x_0=0,y_0=0$,根据公式(6):

    • $u(x,y)$=${\int }_{(0,0)}^{(x,y)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$,
    • 这里取简单折线路径$(0,0)\to (x,0)\to (x,y)$
      • $u(x,y)$=${\int }_0^{x}P\mathrm{d}x+{\int }_0^{y}Q\mathrm{d}y$
        • =${\int }_0^{x}5x^4\mathrm{d}x$+${\int }_0^y(3x^{2}y-3x{y}^2+y^2)\mathrm{d}y$
        • =$x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3$
    • 也可以取简单路径$(0,0)\to (0,y)\to (x,y)$
      • $u(x,y)$=${\int }_0^{x}P\mathrm{d}x$+${\int }_0^{y}Q\mathrm{d}y$=${\int }_0^{x}5x^4+3x{y}^2-y^3\mathrm{d}x$+${\int }_0^y{y}^2\mathrm{d}y$=$x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3$

  • 于是方程的通解为$x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3$=$C$,即这个二元函数就是全微分方程(1)的通解

• 方法2:使用偏积分的方法求解

  • $u_x$=$P$(2-0),两边对$x$偏积分,得$u(x,y)$=$\int Q\mathrm{d}x$=$x^5+\frac{3}{2}{y}^2{x}^2-y^{3}x+\varphi (y)$(2-1)
    • 这里$\varphi (y)$是以$y$为自变量的待定函数
  • 对(2-1)两边求$y$的偏导
    • $u_y$=$3x^{2}y-3x{y}^2+{\varphi }^{\prime }(y)$(3)
    • 再由$u_y$=$Q$,得$3x^{2}y-3x{y}^2+y^2$=$3x^{2}y-3x{y}^2+{\varphi }^{\prime }(y)$(3-1),从而${\varphi }^{\prime }(y)$=$y^2$,两边积分,得$\varphi (y)$=$\frac{1}{3}{y}^3+C$(4)
  • 将(4)代入(2-1),得$u(x,y)$=$x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3+C$,
  • 所以方程的通解为$x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3$=$C$

曲线积分的基本定理

保守场

• 若曲线积分${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$在区域$G$内与积分路径无关,则称向量场$\mathbf{F}$为保守场

定理

• 设$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$(1)是平面区域$G$内的一个向量场
  • 若$P(x,y)$,$Q(x,y)$都在$G$内连续,且存在一个数量函数$f(x,y)$使得$\mathbf{F}$=$\nabla f$(2)
  • 则曲线积分${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$在$G$内与路径无关,且${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$=$f(B)-f(A)$(3)
    • 其中$L$是位于$G$内起点为$A$,终点为$B$的任一分段光滑曲线

证明

• 设$L$的向量方程为$\mathbf{r}$=$\varphi (t)\mathbf{i}$+$\psi (t)\mathbf{j}$ (4),$(t\in [\alpha ,\beta ])$
  • 起点$A$,终点$B$对应的参数分别为$\alpha ,\beta$
  • 由假设存在函数$f$,满足$f_x=P$,$f_y=Q$ (5);
  • 则式(2)改写为$\nabla f$=$f_x\mathbf{i}+f_y\mathbf{j}$(6),即梯度向量
  • $P,Q$连续,从而$f$可微,且
    • $f_t$=$f_x{x}_t$+$f_y{y}_t$(6-1)
    • 由(6)式可以将(6-1)改写为$f_t$=$\nabla f\cdot (x_t\mathbf{i}+y_t\mathbf{j})$(6-2)
    • 而$\mathrm{d}\mathbf{r}$=$\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}$(6-3),$f_t$=$\nabla f\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$(6-4)
    • 再由(2)式$f_t$=$\mathbf{F}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$(7)
  • 而$I$=${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$=${\int }_{\alpha }^{\beta }\mathbf{F}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$(8),将(7)代入(8),得$I$=${\int }_{\alpha }^{\beta }{f}_t\mathrm{d}t$=$f(\varphi (t),\psi (t)){|}_{\alpha }^{\beta }$=$f(B)-f(A)$(9)
  • 证毕

小结

• 定理表明,对于势场$\mathbf{F}$,曲线积分${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$得值仅依赖于它的势函数$f$在路径$L$的两端点的值,而不依赖于两点间的路径
• 即积分${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$在$G$内与路径无关
• 因此,势场是保守场

和微积分基本公式的比较

• 公式${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$=$f(B)-f(A)$与Newton-Leibniz公式(即微积分基本公式)${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$F(b)-F(a)$(其中$F^{\prime }(x)=f(x)$)是完全类似的向量微积分的相应公式,称为曲线积分的基本公式