群论学习笔记

群

群$(G,\ast )$由非空集合$G$和$G$的一个代数运算$\ast$组成，且满足以下公理：
$1、$封闭性：对$\forall a,b\in G$，有$a\ast b\in G$
$2、$结合律：对$\forall a,b,c\in G$，有$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$
$3、$单位元：存在$e\in G$，使对$\forall a\in G$，有$e\ast a=a\ast e=a$
$4、$逆元：对$\forall a\in G$，存在一元素$b\in G$，使$a\ast b=b\ast a=e$
如果群$G$还满足结合律，也就是对$\forall a,b\in G$，有$a\ast b=b\ast a$，则称群$(G,\ast )$为交换群，或者$Abel$群。
另若一个群$G$的每一个元都是某一个元$a$的乘方，这时我们把$(G,\ast )$叫做循环群．我们也说，$G$是由元$a$生成的，并用符号$G=<a>$表示，其中$a$叫做$G$的一个生成元。

群和元的阶

如果群$G$只有有限个元素，我们称它为有限群．其元素的个数称为群G的阶，记为|G|，否则称它为无限群，记$|G|=\infty$
对于群$G$的一个元素$a$，能够使得$a^m=e$的最小整数$m$叫做元$a$的阶，记为$|a|=m$．如果这样的$m$不存在，我们说$a$是无限阶的，记为$|a|=\infty$

结论1：在群$G$中，若元$a$的阶为$m$，且$a^n=e$，则$m|n$

结论2：设$G$为群，$a\in G$，且$|a|=n$，则对任意的整数$k$，有$|a^k|=\frac{n}{(k,n)}$

结论3：在群$G$中，元素$a$的阶为$n$，$b$的阶为$m$，若$ab=ba$，且$(n,m)=1$，则$|ab|=nm$

子群和子群的陪集

假设$H$是群$G$的一个非空子集，如果对$G$中的代数运算$H$本身也成一个群，则称$H$为群$G$的一个子群。
我们$G$的子集$aH=\{ah|h\in H\}$与$Ha=\{ha|h\in H\}$分别为$H$的左陪集，右陪集。

定理1：已给子群$H$的右陪集的个数和左陪集的个数相等。
证明：可以发现$H$的左陪集$aH$和右陪集$H{a}^{-1}$构成一一对应关系，所以$H$的左陪集和右陪集个数相等。

一个群$G$的子群$H$的右陪集(或左陪集)的个数叫做$H$在$G$中的指数，记作$[G:H]$

群的同构

设$\phi$是群$G$到$\overline{G}$的一个一一映射，如果对$G$中任意元素$a,b$均有$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，则称$\phi$是$G$到$\overline{G}$的一个同构映射。

利用同构能够指出循环群只有两类。

结论1：设 < a > <a>为循环群，则
1）若不存在正整数$n$，使$a^n=e$，则 < a > <a>与整数加群同构。
2）若存在正整数$n$，使$a^n=e$，且$n$为最小，则 < a > <a>与$n$次单位根群同构。
证明：对于情况1），作映射$$\phi :a^m\to m$$
对于情况2），作映射$$\phi :a^m\to {\omega }^m$$
可以发现对两种情况的映射均满足同构映射的定义。

群的阶与其元的阶之间的关系

引理1：一个子群$H$和$H$的右陪集$Ha$之间都存在一个一一映射。
证明：作映射$$\pi :h\to ha$$
因为$H$的每一个元$h$都有唯一的象$ha$，$Ha$的每一个元$ha$是$h$，且假如$h_{1}a=h_{2}a$，则有$h_1=h_2$，故映射$\pi$是一个一一映射。

引理2：假定$H$是一个有限群$G$的一个子群．那么$H$的阶$n$和它在$G$里的指数$j$都能整除$G$的阶$N$，并且$N=nj$
证明：$G$的$N$个元被分成$j$个右陪集，而且由引理1可知，每一个右陪集都有$n$个元，所以$N=nj$

拉格朗日定理：一个有限群$G$的任意一个元$a$的阶$n$都整除$G$的阶。
证明：$a$生成一个阶是$n$的子群，由引理2可知，$n$整除$|G|$

置换群

考虑集合$M$，作映射$$f:M\to M$$
如果$f$是一个双射，就称$f$是$M$上的一个置换。

考虑两个置换$f,g$，对于$m\in M$，定义$(f\ast g)(m)=f(g(m))$，即$f\ast g$为$f$与$g$的复合函数。

对于置换的集合$G$和复合操作$\ast$，如果$(G,\ast )$满足群公理，则称其为置换群。

轨道与稳定化子

对于一个被置换元素$m\in M$，其在$(G,\ast )$作用下的轨道定义为$$Orbit(m)=\{n|n=f(m),f\in G\}$$
即$m$被$G$中的置换一步能够置换成的元素的集合。

对于一个被置换元素$m\in M$，其在$(G,\ast )$中的稳定化子定义为$$Stab(m)=\{f|f(m)=m,f\in G\}$$
即$G$中的作用与于$m$不变的置换组成的集合。
可以发现$(Stab(m),\ast )$为$G$的一个子群。

轨道-稳定化子定理：对$\forall m\in M$，有$$|Orbit(m)|\ast |Stab(m)|=|G|$$
证明：由于$Stab(m)$为$G$的一个子群，且对于任意满足$f(m)=g(m)=k$的置换$f,g$，有$Stab(m)\ast f=Stab(m)\ast g$，所以$Stab(m)$有$|Orbit(m)|$个右陪集，根据群的阶与其元的阶之间的关系可得上述定理成立。

如果定义通过$G$中的置换可以相等的元素为等价类，那么显然$m$所在的等价类大小就等于$|Orbit(m)|$

Burnside引理

Burnside引理：若$G$是对集合$M$的置换，且$(G,\ast )$构成置换群，设$c(g)$为置换$g$中的不动点个数，即满足$f(m)=m$的元素$m$的数量，那么$M$中的等价类个数$L$满足$$L=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}c(g)$$

证明：显然有$$\sum _{m\in M}|Stab(m)|=\sum _{g\in G}c(g)$$
设$E_i$为第$i$个等价类的所有元素构成的集合，显然同一个等价类中的两个元素$a,b$，必然有$|Stab(a)|=|Stab(b)|$，设$|Stab(E_i)|$为$E_i$中元素的等价类大小，则$$\sum _{m\in M}|Stab(m)|=\sum _{i=1}^L\sum _{m\in E_i}|Stab(m)|=\sum _{i=1}^L|E_i||Stab(E_i)|=L|G|$$
那么有$$L=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}c(g)$$

另一种证明：现在用每个置换分别作用在每个等价类的其中一个状态上，得到$L|G|$个不同的状态。对于属于同一个等价类$k$的状态$k_1,k_2,k_3$，设$k_2=f_2(k_1),k_3=f_3(k_1)$，$k_1$为置换$f_1$的不动点，则$$k_2=f_2(f_1(k_1))=(f_2\ast f_1)(k_1)$$$$k_3=f_3(f_1(k_1))=(f_3\ast f_1)(k_1)$$
因此一个状态到所有和他属于同一个等价类中的状态（包括他自己）的置换数是相等的，也就是每一个状态的稳定化子数均为$\frac{|G|}{|k|}$。
于是在等式右边的$\sum$中等价类$k$中的每个状态都被计算了$\frac{|G|}{|k|}$次，于是等式两边相等。

Polya定理

在利用Burnside引理处理对序列的染色问题时，如果每个单元可选的颜色都是$a$种，Burnside引理可化简为Polya定理。

Polya定理：设$\lambda (g)$表示置换$g$中可独立染色的集团数，也就是环的数量，则$$L=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{a}^{\lambda (g)}$$

Polya定理的生成函数形式

设有$m$种不同颜色，则颜色的生成函数为$$F(x_1,\dots ,x_m)=\sum _{i=1}^m{x}_i$$
如果颜色带权，也就是要求某种颜色的权值为为定值的方案数，设$r_i,f_i$分别表示颜色$i$的权值和数量，那么颜色的带权生成函数为$$F(x_1,\dots ,x_m)=\sum _{i=1}^m{f}_i{x}_i^{r_i}$$
设$c_k(g)$表示置换$g$的长为$k$的循环节个数，则群$G$的循环节指标生成函数为$$Z_G(t_1,\dots ,t_n)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\prod _{k=1}^n{t}_k^{c_k(g)}$$
Polya定理的生成函数为$$Z_G(F(x_1,\dots ,x_m),\dots ,F(x_1^n,\dots ,x_m^n))$$
把$Z_G$展开后$\prod x_i^{r_i}$的系数就表示颜色$x_i$恰有$r_i$的方案数。