施密特正交

描述

给出一个向量组原始基，通过施密特正交化、单位化，构造出标准正交基。

输入

本题有多组测试数据。每组测试数据在第一行给出两个正整数t，n，表示有t个n维向量。随后t行每行给出n个实数表示一个向量。

输出

每行输出一个向量，用空格分隔每个分量。保留3位小数。

样例输入

3 3
0 1 1
1 1 0
1 0 1

样例输出

0.000 0.707 0.707
0.816 0.408 -0.408
0.577 -0.577 0.577

code

#include 
#include 
#include 

// 计算向量点积
double dotProduct(const double* v1, const double* v2, int n) {
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result += v1[i] * v2[i];
    }
    return result;
}

// 计算向量长度
double vectorLength(const double* v, int n) {
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result += v[i] * v[i];
    }
    return sqrt(result);
}

// 施密特正交化 该函数接收一个二维指针vectors，表示向量组，以及两个整数t和n，
//分别表示向量组中向量的个数和每个向量的维度。该函数实现施密特正交化的算法
void gramSchmidt(double** vectors, int t, int n) {
    for (int i = 0; i < t; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            double projection = dotProduct(vectors[i], vectors[j], n) / dotProduct(vectors[j], vectors[j], n); 
            //projection 就是向量 vectors[i] 在向量 vectors[j] 上的投影长度，
            //它除以向量 vectors[j] 的长度的平方，就是公式中的分式部分，用于计算投影向量的系数。
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                vectors[i][k] -= projection * vectors[j][k];
            }
        }
    }
}

// 单位化向量
void normalize(double* v, int n) {
    double length = vectorLength(v, n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        v[i] /= length;
    }
}

int main() {
    int t, n;
    while (scanf("%d%d", &t, &n) == 2) {
        // 读入向量组
        double** vectors = (double**)malloc(t * sizeof(double*));
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            vectors[i] = (double*)malloc(n * sizeof(double));
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                scanf("%lf", &vectors[i][j]);
            }
        }

        // 施密特正交化
        gramSchmidt(vectors, t, n);

        // 单位化向量
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            normalize(vectors[i], n);
        }

        // 输出结果
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            for (int j = 0; j < n-1; j++) {
                printf("%.3f ", vectors[i][j]);
            }
            printf("%.3f",vectors[i][n-1]); 
            printf("\n");
        }

        // 释放内存
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            free(vectors[i]);
        }
        free(vectors);
    }

    return 0;
}

对样例解释（理解的的人可跳过）

Eg.对于vectors=

{1,1,1,1

1，-1,0,4

3,5,1，-1}

1. i=0

j不存在

对于for（k=……）也不执行

vectors不变 仍为vectors=

{1,1,1,1

1，-1,0,4

3,5,1，-1}

1. i=1

     Projection=4/4=1

     For(k=……）

   1. vectors[1][0]-=1*vectors[0][0](vectors[0][0]=1)

      1. vectors[1][0]变成0

   2. vectors[1][1]-=1*vectors[0][1](vectors[0][1]=1)

      1. vectors[1][1]变成-2

   3. vectors[1][2]-=1*vectors[0][2](vectors[0][2]=1)

      1. vectors[1][2]变成-1

   4. vectors[1][3]-=1*vectors[0][3](vectors[0][3]=1)

      1. vectors[1][3]变成3

   1. j=0

vectors=

{1,1,1,1

0，-2,-1,3

3,5,1，-1}

1. i=2

     Projection=(3*1+5*1+1-1)/4=8/4=2

     For(k=……）

   1. vectors[2][0]-=2*vectors[0][0](vectors[0][0]=1)

      1. vectors[2][0]变成1

   2. vectors[2][1]-=2*vectors[0][1](vectors[0][1]=1)

      1. vectors[2][1]变成3

   3. vectors[2][2]-=2*vectors[0][2](vectors[0][2]=1)

      1. vectors[2][2]变成-1

   4. vectors[2][3]-=2*vectors[0][3](vectors[0][3]=1)

      1. vectors[2][3]变成-3

     对于vectors=

     {1,1,1,1

     0,-2,-1,3

     1,3,-1,-3}

    attention：在解这题时vectors[2][ ]不改变（起始vectors[2][ ]为3,5,1,-1）

     3*0-2*5-1*1-1*3=-14=1*0-2*3+(-1)*(-1)-3*(3)（点乘不变）

     Projection=(0-6+1-9)/14=-14/14=-1

     For(k=……）

   1. vectors[3][0]-=(-1)*vectors[1][0](vectors[1][0]=0)

      1. vectors[3][0]变成1

   2. vectors[3][1]-=(-1)*vectors[1][1](vectors[1][1]=-2)

      1. vectors[3][1]变成1

   3. vectors[3][2]-=(-1)*vectors[1][2](vectors[1][2]=-1)

      1. vectors[3][2]变成-2

   4. vectors[3][3]-=(-1)*vectors[1][3](vectors[1][3]=3)

      1. vectors[3][3]变成0

   1. j=0

   2. j=1

对于vectors=

{1,1,1,1

0,-2,-1,3

1,1,-2,0}

接下来就是单位化