MIT线性代数笔记-第22讲-对角化，A的幂

22.对角化，$A$的幂

1. 特征向量矩阵：一个每一列都是方阵$A$的特征向量且这些特征向量线性无关的$n$阶方阵，记作$S$

   A S = A [ ∣ ∣ ∣ ∣ x 1 x 2 ⋯ x n ∣ ∣ ∣ ∣ ] = [ ∣ ∣ ∣ ∣ λ 1 x 1 λ 2 x 2 ⋯ λ n x n ∣ ∣ ∣ ∣ ] = [ ∣ ∣ ∣ ∣ x 1 x 2 ⋯ x n ∣ ∣ ∣ ∣ ] [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] = S [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] \begin{aligned} AS & = A \begin{bmatrix} | & | & | & | \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ | & | & | & | \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} | & | & | & | \\ \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \\ | & | & | & | \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} | & | & | & | \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ | & | & | & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \\ & = S \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \end{aligned} AS​=A ​∣x1​∣​∣x2​∣​∣⋯∣​∣xn​∣​ ​= ​∣λ1​x1​∣​∣λ2​x2​∣​∣⋯∣​∣λn​xn​∣​ ​= ​∣x1​∣​∣x2​∣​∣⋯∣​∣xn​∣​ ​ ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮λn​​ ​=S ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮λn​​ ​​

   第二个乘数称为特征值矩阵，记作$\Lambda$，那么$AS=S\Lambda$，即$S^{-1}AS=\Lambda$，得到$\Lambda$的过程就是对角化

   不过不是所有$A$都有$n$个线性无关的特征向量，对于那些没有的，它们得不到$S$，自然也就无法对角化，因而以下内容都是对于可以对角化的方阵考虑的，不是所有方阵

2. 考虑写成将$A$分解的形式可得$A=S\Lambda S^{-1}$

   考虑求$A^2$的特征值和特征向量，若$Ax=\lambda x$，则$A^{2}x=\lambda Ax={\lambda }^{2}x$，所以$A^k$的特征值等于$A$的特征值的$k$次幂（即$A^{k}x={\lambda }^{k}x$），$A^k$的特征向量与$A$的特征向量一致，依$A$的分解形式可知$A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1}=S{\Lambda }^2{S}^{-1}$，这样也可以得到一样的结论

   通过$S$与$S^{-1}$的相消可以发现这种分解形式能很好地用于求$A$的幂，即$A^k=S{\Lambda }^k{S}^{-1}$

   因为$\Lambda$为对角阵，所以${\Lambda }_{i,i}^k={\lambda }_{i,i}^k$（此处$\lambda$表示$\Lambda$中的元素），又$A^k$是否有稳态取决于${\Lambda }^k$，所以当$A$的所有特征值的绝对值都不大于$1$（复数特征值的模不大于$1$）时，$A^k$存在稳态，即${\lim }_{k\to +\infty }{A}^k$为某个确定矩阵

   当$A$的所有特征值的绝对值都小于$1$（复数特征值的模小于$1$）时，稳态为$O$

3. 当方阵没有重复特征值时，它一定可以对角化

   证明： 只要证在题设条件下，每个特征值对应的任何特征向量都不可能是其他特征值的特征向量即可

   ​    特征向量不可能为$0$，选取某个特征值${\lambda }_a$对应的的某个特征向量里的某个非零元素，设其为第$i$个元素，记作$x_i$，可知用该特征向量点乘$A-{\lambda }_{a}I$的第$i$行可以得到$0$，所以对于另一个特征值${\lambda }_b$，用该特征向量点乘$A-{\lambda }_{b}I$的第$i$行可以得到$({\lambda }_a-{\lambda }_b)x_i$，而方阵没有重复的特征值，即${\lambda }_a-{\lambda }_b\ne 0$，又$x_i\ne 0$，所以用该特征向量点乘$A-{\lambda }_{b}I$的第$i$行得不到$0$，即该特征向量不可能是${\lambda }_b$的特征向量

   ​    这对任意特征值和特征向量都成立，因而得证

   当方阵有重复特征值时，它不一定可不可以对角化，比如单位矩阵的特征值只有$1$，但特征向量可以是任意非零向量

4. 对角阵的特征值矩阵与其本身一致

   证明： 可以将对角阵的任意一列当作该对角阵的特征向量，可以发现这些特征向量线性无关，且对应的特征值刚好是同一列的主对角线元素，所以$A=S=\Lambda$

5. 有关系$u_{k+1}=A{u}_k$，且已知$u_0,A$（$A$可对角化），求$u_k$

   因为$A$可对角化，所以$A$有$n$个线性无关的特征向量，这些特征向量可以构成$R^n$的一组基，因而可以用来表示$u_0$

   设$u_0=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$，那么

   $\begin{array}{rl}{u}_k& =A^k{u}_0\\ & =A^k(c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n)\\ & =c_1{\lambda }_1^k{x}_1+c_2{\lambda }_2^k{x}_2+\cdots +c_n{\lambda }_n^k{x}_n\\ & =S{\Lambda }^{k}c\end{array}$，其中 c ⃗ = [ c 1 c 2 ⋮ c n ] \vec{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix} c = ​c1​c2​⋮cn​​ ​

   还可以发现$u_0=Sc$

   以斐波那契数列举例：

   ​   假设斐波那契数列第$0$项为$0$

   ​   已知斐波那契数列满足$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$，可以构造$u_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$，那么$u_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

   ​   依斐波那契数列项之间满足的关系可知$u_{k+1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]u_k$，令$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

   ​   解得$A$的特征值$\lambda =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$，两个特征向量 x ⃗ 1 = [ 1 + 5 2 1 ] , x ⃗ 2 = [ 1 − 5 2 1 ] \vec{x}_1 = \begin{bmatrix} \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ 1 \end{bmatrix} , \vec{x}_2 = \begin{bmatrix} \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ 1 \end{bmatrix} x 1​= ​21+5 ​​1​ ​,x 2​= ​21−5 ​​1​ ​

   ​   所以$u_0=\frac{\sqrt{5}}{5}{x}_1-\frac{\sqrt{5}}{5}{x}_2$，即 c ⃗ = [ 5 5 − 5 5 ] \vec{c} = \begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt{5}}{5} \\ -\dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{bmatrix} c = ​55 ​​−55 ​​​ ​

   ​   所以 u ⃗ k = [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] [ ( 1 + 5 2 ) k 0 0 ( 1 − 5 2 ) k ] [ 5 5 − 5 5 ] \vec{u}_k = \begin{bmatrix} \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} & \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})^k & 0 \\ 0 & (\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt{5}}{5} \\ -\dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{bmatrix} u k​= ​21+5 ​​1​21−5 ​​1​ ​ ​(21+5 ​​)k0​0(21−5 ​​)k​ ​ ​55 ​​−55 ​​​ ​

   ​   计算可得$F_n=\frac{\sqrt{5}[(1+\sqrt{5}{)}^n-(1-\sqrt{5}{)}^n]}{5\cdot 2^n}$

   ​   又$|1-\sqrt{5}|<1,|1+\sqrt{5}|>1$，所以当$n\to \infty$时，$(1-\sqrt{5}{)}^n\to 0$，$F_n\to \frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5}{)}^n}{5\cdot 2^n}$

---

打赏

制作不易，若有帮助，欢迎打赏！