C++递归算法案例

一：递归相关概念

1.什么是递归

• 递归有两种形式：
  1. 直接递归：在函数体内调用自身
  2. 间接递归：在函数中调用其他函数，并由其他函数调用自身
• 什么是递归：出现自己调用自己的情况，被称为递归
• 递归的过程：
  1. 第一阶段：将原问题不断分解为新的子问题，将规模逐步减小
  2. 第二阶段：达到已知的，可以直接求解的终点，称为递归基
• 递归的条件：
  1. 有反复执行同一个任务的过程(子问题，调用自身)
  2. 有跳出反复执行过程的条件(递归出口)
• 递归的一般形式：

2.递归的内部实现

(1).一般函数调用的内部实现

(2).递归函数的内部调用

二：递归的基本使用

#include
using namespace std;
/*

*/
static int n;
static long long *F = new long long[n + 1];

// 案例一：计算阶乘
int Factorial(int n)
{
	if(n == 1 || n == 0) 
	    return 1;
	else 
	    // 该方法调用多次Factorial(int n)函数，每次调用都会开辟一块新的执行内存 
	    return n * Factorial(n - 1); 
}

// 案例二：计算斐波那契数列第n项的值  
long long Fibonacci_1(int n)
{
	// 此方法为低效调用，会大量重复计算中间过程的数据 
    if(n == 1 || n == 2) 
	    return 1;
    else
	    return Fibonacci_1(n - 1) + Fibonacci_1(n - 2); 
}

long long Fibonacci_2(int n)
{
	// 此方法为高效调用，被称为 "记忆递归" ，即把算过的数储存起来，后续调用时直接使用
    if(n == 1 || n == 2) 
	    return 1;
    if(n > 2){
    	if(F[n] != 0) 
		    return F[n];
		else
		{
			F[n] = Fibonacci_2(n - 1) + Fibonacci_2(n - 2); 
		    return F[n];
		}
	}
}

// 案例三：求两个数的最大公约数(欧几里得辗转相除法)
/*
   如果： a % b == 0, a,b的最大公约数是b;
   否则： a,b的最大公约数为(b, a % b)的公约数。 
*/ 
int gcd(int a, int b)
{
	if(a % b == 0)
	    return b;
	else
	    return gcd(b, a % b);
}

int main(){
	// 初始化条件 
	cin >> n;
	for(int i = 0; i <= n; i++) F[i] = 0; // 动态创建的数组空间里的值默认为undifined 

	// 阶乘 
	cout << "n的阶乘为：" << Factorial(n) << endl;
	
	// 斐波那契数列
	cout << "第n个斐波那契数为(低效)：" << Fibonacci_1(n) << endl; 
	cout << "第n个斐波那契数为(记忆)：" << Fibonacci_2(n) << endl;
	
	// 两个数的最大公约数
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a, b);
	
	return 0;
}

三：递归的应用

1.背包问题

设有n个物品，重量分别为W1, W2, W3,…,Wn，所有物品的重量之和大于等于背包所能放置的重量S，设计算法从中找出若干物品放入背包中，使得其重量之和正好为S。

暂时还没写。。。。。。

2.梵塔问题

有 n个半径各不相同的圆盘，按半径从大到小，自下而上依次套在 A柱上，另外还有 B、 C两根空柱。要求将 A柱上的 n个圆盘全部搬到 C柱上去，每次只能搬动一个盘子，且必须始终保持每根柱子上是小盘在上，大盘在下。 在移动盘子的过程当中发现要搬动 n个盘子，必须先将 n-1个盘子从 A柱搬到 B柱去再将 A柱上的最后一个盘子搬到 C柱，最后从 B柱上将 n-1个盘子搬到 C柱去。搬动 n个盘子和搬动 n-1个盘子时的方法是一样的，当盘子搬到只剩一个时，递归结束。

暂时还没写。。。。。。

3.天平最轻问题

题目描述：天平的两边有时不一定只能挂物品，还可以继续挂着另一个天平，现在给你一些天平的情况和它们之间的连接关系，要求使得所有天平都能平衡所需物品的总重量最轻，一个天平平衡当且仅当“左端点的重量左端点到支点的距离=右端点的重量右端点到支点的距离”。注意题目中的输入保证这些天平构成一个整体。
输入格式：第一行包含一个N(N≤100)，表示天平的数量，天平编号为l到N，接下来包含N行描述天平的情况，每行4个整数P、Q、R、B，P和Q表示横杆上支点到左边的长度与到右边的距离的比例为P：Q，R表示左边悬挂的情况，如果R=0说明悬挂的是物品，否则表示左边悬挂的是天平R；B表示右边的悬挂情况，如果B=O表示右边悬挂的是物品，否则右边悬挂着天平B。对于所有的输入，保证W*L<2^31，其中w为最轻的天平重量，而L为输入中描述左右比例时出现的最大值。

暂时还没写。。。。。。

4.数的计算问题

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的正整数 nnn)。先输入一个正整数 n(n≤1000),然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1.不作任何处理；

2.在它的左边加上一个正整数,但该正整数不能超过原数的一半；

3.加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加正整数为止。

暂时还没写。。。。。。

更多相关内容大家可以前往我的个人博客浏览：eyes++的个人空间