【PID学习笔记 8 】控制系统的分析方法之一

写在前面

前面已经完成了控制系统的性能指标学习，从这节开始继续学习控制系统的分析方法，本文重点介绍分析方法概述和时域分析法。

一、控制系统的基本分析方法

• 控制系统的基本分析方法包括：

  • 古典方法（经典控制理论）：时域分析法、根轨迹法、频域分析法
  • 现代方法（现代控制理论）：状态空间分析法

• 利用上述方法分析系统的三大基本特性：

  • 能控能观性
  • 稳态性能
  • 动态性能

1.1 系统能控能观性

系统的动态性能与稳态性能前面已做介绍，这里介绍一下能控能观性。经典控制理论中并没有涉及这两个问题，因为经典控制理论讨论的是单入单出(SISO)系统输入输出的分析和综合问题，它的输入输出间的动态关系可以唯一的由传递函数来表示。

• 能控性定义：
  对于一个$n$阶系统$S$，如果在有限的时间区间 $t_0\le t\le t_a$ 内，存在容许控制向量$u(t)$，能使系统从状态 $x(t_0)\ne 0$ 转移到 $x(t_a)=0$ ，则称状态$x(t)$ 在$t_0$上能控。

• 能观性定义：
  对于一个$n$阶系统$S$，如果对 $t_0$ 时刻，存在 $t_a$，即$t_0<t_a<\infty$，根据$[t_0,t_a]$上的$y(t)$测量值能够唯一的确定系统在$t_0$ 时刻的某初始状态$x_0$，则称$x_0$为系统在$[t_0,t_a]$区间上的能观状态。

• 系统能控能观性主要去解决两个问题：

  • ① 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?
  • ② 在有限时间内，能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?

  简单地说，如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意的起始点达到终点，则系统能控(状态能控)。如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态能观测的。

  1.2 时域分析法

• 时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等。

  为了衡量控制系统性能，设立了一定的指标，所以系统分析的基本内容就是分析系统在上述三个方面的性能是否达到了规定的性能指标。

• 时域法的特点：

  • ①直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确。
  • ②可以提供系统时间响应的全部信息。
  • ③基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
    
    

• 时域分析方法的基本假设

  • 系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构和参数，而且还与系统的初始状态以及加在系统上的外部作用信号有关。为了比较系统性能的优劣，对于外部作用信号和初始状态作典型化处理。
    
    

• 时域法中部分动态指标的计算公式：

$$\{\begin{array}{rl}{t}_r& =\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}\\ t_p& =\frac{\pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_n}\\ \sigma \%& =\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}\end{array}$$

• 时域法中系统稳定性的分析

  • 系统稳定的充要条件：
    • 系统所有闭环特征根均具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半s平面。
      
      
  • 劳斯（Routh）判据
    • 劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数。
      
      

• 时域法中系统稳态误差的计算：静态误差系数法

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }sR(s)\frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\underset{s\to 0}{\lim }sR(s)\frac{1}{1+\frac{K}{s^v}{G}_0(s)}$$

$$r(t)=A\cdot 1(t)e_{ssp}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{A}{s}\cdot \frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\frac{A}{1+\underset{s\to 0}{\lim }{G}_1(s)H(s)}=\frac{A}{1+K_p}$$

$$r(t)=A\cdot t{e}_{ssv}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{A}{s^2}\cdot \frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\frac{A}{\underset{s\to 0}{\lim }s{G}_1(s)H(s)}=\frac{A}{K_v}$$

$$r(t)=\frac{A}{2}\cdot t^2{e}_{ssa}=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_e(s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{A}{s^3}\cdot \frac{1}{1+G_1(s)H(s)}=\frac{A}{\underset{s\to 0}{\lim }{s}^2{G}_1(s)H(s)}=\frac{A}{K_a}$$

其中，时域分析$K_p$是静态位置误差系数；$K_v$是静态速度误差系数；$K_a$是静态加速度误差系数。

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本节完

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人一旦受到责任感的驱使，就能创造出奇迹来。

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