【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第五章：正则语言的性质

5.1|正则语言的泵引理

鸽巢原理现象

• 设$L$是一个$RL$，$DFAM=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$，满足$L(M)=L$，$|Q|=N$，不失一般性，不妨假设$Q$中不含任何不可达状态
• 取$L$的句子$z=a_1{a}_2\cdots a_m(m\ge N)$，对$\forall h$，$1\le h\le m$，令$\delta (q_0,a_1{a}_2\cdots a_h)=q_h$
• 由于$m\ge N$，所以在状态序列$q_0,q_1,\cdots ,q_N$中至少有两个状态是相同的，不妨假设$q_k$与$q_j$是该状态序列中最早出现的相同状态，显然$k<j\le N$
• 此时有

$$\begin{array}{rl}\delta (q_0,a_1{a}_2\cdots a_k)& =q_k\\ \delta (q_k,a_{k+1}\cdots a_j)& =q_j=q_k\\ \delta (q_j,a_{j+1}\cdots a_m)& =q_m\end{array}$$

• 注意到$q_j=q_k$，所以对于任意整数$i\ge 0$

$$\begin{array}{rl}\delta (q_k,(a_{k+1}\cdots a_j{)}^i)& =\delta (q_k,(a_{k+1}\cdots a_j{)}^{i-1})\\ & \cdots \\ & =\delta (q_k,a_{k+1}\cdots a_j)\\ & =q_k\end{array}$$

• 因为$z\in L(M)$，所以$q_m\in F$，故对于任意整数$i\ge 0$，$\delta (q_0,a_1{a}_2\cdots a_k(a_{k+1}\cdots a_j{)}^i{a}_{j+1}\cdots a_m)=q_m$，也就是说$a_1{a}_2\cdots a_k(a_{k+1}\cdots a_j{)}^i{a}_{j+1}\cdots a_m\in L(M)$
• 取

$$\begin{array}{rl}u& =a_1{a}_2\cdots a_k\\ v& =a_{k+1}\cdots a_j\\ w& =a_{j+1}\cdots a_m\end{array}$$

• 对于任意整数$i\ge 0$，$u{v}^{i}w\in L$，注意到$k<j\le N$，所以$u$，$v$满足

$$\begin{gathered} |uv|\le N \\ |v|\ge 1 \end{gathered}$$

正则语言的泵引理

• 设$L$为一个$RL$，则存在仅依赖于$L$的正整数$N$，对于$\forall z\in L$，如果$|z|\ge N$，则存在$u$，$v$，$w$满足：
  • $z=uvw$
  • $|uv|\le N$
  • $|v|\ge 1$
  • 对于任意整数$i\ge 0$，$u{v}^{i}w\in L$
  • $N$不大于接受$L$的最小$DFAM$的状态数
• 泵引理给出的是$RL$的“必要条件”而不是“充分条件”

应用

问题$1$

• 证明$\{0^n{1}^n\mid n\ge 1\}$不是$RL$

解答$1$

• 设$L=\{0^n{1}^n\mid n\ge 1\}$，假设$L$是$RL$，则它满足泵引理，不妨设$N$是泵引理所指的仅依赖于$L$的正整数
• 取$z=0^N{1}^N$，显然$z\in L$，按照泵引理所述，必存在$u$，$v$，$w$，由于$|uv|\le N$，并且$|v|\ge 1$，所以$v$只可能是由$0$组成的非空串
• 不妨设

$$v=0^k,k\ge 1$$

• 此时有

$$\begin{array}{rl}u& =0^{N-k-j}\\ w& =0^j{1}^N\end{array}$$

• 从而有$u{v}^{i}w=0^{N-k-j}(0^k{)}^i{0}^j{1}^N=0^{N+(i-1)k}{1}^N$
• 当$i=2$时，有$u{v}^{2}w=0^{N+(2-1)k}{1}^N=0^{N+k}{1}^N\notin L$，与泵引理矛盾，所以$L$不是$RL$

问题$2$

• 证明$\{0^n\mid n为素数\}$不是$RL$

解答$2$

• 设$L=\{0^n\mid n为素数\}$，假设$L$是$RL$，则它满足泵引理，不妨设$N$是泵引理所指的仅依赖于$L$的正整数
• 取$z=0^{N+p}$，其中$N+p$是素数，即$z\in L$，按照泵引理所述，必存在$u$，$v$，$w$，由于$|v|\ge 1$，所以$v$必定是由$0$组成的非空串
• 不妨设

$$v=0^k,k\ge 1$$

• 此时有

$$\begin{array}{rl}u& =0^{N+p-k-j}\\ w& =0^j\end{array}$$

• 从而有$u{v}^{i}w=0^{N+P-k-j}(0^k{)}^i{0}^j=0^{N+p+(i-1)k}$
• 当$i=N+p+1$时，$u{v}^{N+p+1}w=0^{(N+p)(1+k)}\notin L$，与泵引理矛盾，所以$L$不是$RL$

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