扩展欧几里得算法与线性同余方程

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扩展欧几里得算法

更多证明过程请看VCR

作用

$$\begin{gathered} 裴蜀定理： \\ 对于整数a和b，令d=gcd(a,b) \\ d是它们的线性组合ax+by中的最小正整数， \\ 也就是说，存在整数x和y，使得ax+by=gcd(a,b)。 \end{gathered}$$而扩展欧几里得算法就是来求这个系数 $x,y$ 的。

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证明

裴蜀定理的等式：$$ax+by=gcd(a,b)$$当 $b=0$ 时：$$ax+by=a$$那么 $x=1,y=0$ 就是一组解

当 $b\ne 0$ 时，由于欧几里得算法，有等式：$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$将欧几里得的等式用裴蜀定理等式替换可得：$$ax+by=b{x}_1+(a\%b)y_1$$而求模的等式：$$a\%b=a-\lfloor a/b\rfloor \ast b$$所以替换得：$$ax+by=b{x}_1+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)y_1$$将 $a,b$ 看为未知数，可以得到式子：$$a(x-y_1)-b(x_1-y-\lfloor a/b\rfloor \ast y_1)=0$$因为 $a,b$ 为任意整数，所以只能让两个括号内的项为 $0$ 等式才能成立，所以得到：$$\begin{gathered} x=y_1 \\ y=x_1-\lfloor a/b\rfloor \ast y_1 \end{gathered}$$

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思路

既然已经得到了递推式，我们可以直接递归来求系数，递归终点就是 $b=0$ 的时候。

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CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    
    int gcd, x1, y1;
    gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
}

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应用

• 求解线性同余方程：$ax\equiv b(modp)$ 的解；
  我们可以将方程转化为：$ax+py=b$，当 $gcd(a,p)|b$ 有解。
• 特别的：
  当 $b=1$ 且 $gcd(a,p)=1$（$a,p$ 互质）时，求解的 $x$ 即为 $a$ 的逆元。

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AcWing 878. 线性同余方程

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/947/

CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int gcd, x1, y1;
    gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        
        int gcd, x, y;
        gcd = exgcd(a, m, x, y);
        if(b % gcd == 0) printf("%d\n", (long long)x * b / gcd % m);
        else puts("impossible");
    }
}

如果 $b$ 是 $gcd$ 的倍数，那么证明有解，系数 $x$ 也要成倍数增加，倍数就是 $b/gcd$。
开long long防止溢出。

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参考文献

https://www.acwing.com/solution/content/1393/