扩展欧几里得算法与线性同余方程

文章目录

  • 扩展欧几里得算法
    • 作用
    • 证明
    • 思路
    • CODE
    • 应用
      • AcWing 878. 线性同余方程
        • CODE
  • 参考文献



扩展欧几里得算法

更多证明过程请看VCR

作用

裴蜀定理: 对于整数 a 和 b ,令 d = g c d ( a , b ) d 是它们的线性组合 a x + b y 中的最小正整数, 也就是说,存在整数 x 和 y ,使得 a x + b y = g c d ( a , b ) 。 裴蜀定理:\\对于整数a和b,令d = gcd(a, b)\\d是它们的线性组合ax + by中的最小正整数,\\也就是说,存在整数x和y,使得ax + by = gcd(a, b)。 裴蜀定理:对于整数ab,令d=gcd(a,b)d是它们的线性组合ax+by中的最小正整数,也就是说,存在整数xy,使得ax+by=gcd(a,b)而扩展欧几里得算法就是来求这个系数 x , y x, y x,y 的。


证明

裴蜀定理的等式: a x + b y = g c d ( a , b ) ax + by = gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b) b = 0 b = 0 b=0 时: a x + b y = a ax + by = a ax+by=a那么 x = 1 , y = 0 x = 1, y = 0 x=1,y=0 就是一组解

b ≠ 0 b ≠ 0 b=0 时,由于欧几里得算法,有等式: g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)将欧几里得的等式用裴蜀定理等式替换可得: a x + b y = b x 1 + ( a % b ) y 1 ax + by = bx_1 + (a\%b)y_1 ax+by=bx1+(a%b)y1而求模的等式: a   %   b = a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b a\ \%\ b = a - ⌊a / b⌋ * b a % b=aa/bb所以替换得: a x + b y = b x 1 + ( a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b ) y 1 ax + by = bx_1 + (a - ⌊a / b⌋ * b)y_1 ax+by=bx1+(aa/bb)y1 a , b a, b a,b 看为未知数,可以得到式子: a ( x − y 1 ) − b ( x 1 − y − ⌊ a / b ⌋ ∗ y 1 ) = 0 a(x - y_1) - b(x_1 - y - ⌊a / b⌋*y_1)= 0 a(xy1)b(x1ya/by1)=0因为 a , b a, b a,b 为任意整数,所以只能让两个括号内的项为 0 0 0 等式才能成立,所以得到: x = y 1 y = x 1 − ⌊ a / b ⌋ ∗ y 1 x = y_1\\y = x_1 - ⌊a / b⌋ * y _ 1 x=y1y=x1a/by1


思路

既然已经得到了递推式,我们可以直接递归来求系数,递归终点就是 b = 0 b = 0 b=0 的时候。


CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    
    int gcd, x1, y1;
    gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
}

应用

  • 求解线性同余方程: a x ≡ b ( m o d   p ) ax ≡ b(mod\ p) axb(mod p) 的解;
    我们可以将方程转化为: a x + p y = b ax +py = b ax+py=b,当 g c d ( a , p ) ∣ b gcd(a, p) | b gcd(a,p)b 有解。
  • 特别的:
    b = 1 b = 1 b=1 g c d ( a , p ) = 1 gcd(a, p) = 1 gcd(a,p)=1 a , p a, p a,p 互质)时,求解的 x x x 即为 a a a逆元

AcWing 878. 线性同余方程

题目链接:https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/947/
扩展欧几里得算法与线性同余方程_第1张图片

CODE
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int gcd, x1, y1;
    gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        
        int gcd, x, y;
        gcd = exgcd(a, m, x, y);
        if(b % gcd == 0) printf("%d\n", (long long)x * b / gcd % m);
        else puts("impossible");
    }
}

如果 b b b g c d gcd gcd 的倍数,那么证明有解,系数 x x x 也要成倍数增加,倍数就是 b / g c d b / gcd b/gcd
long long防止溢出。



参考文献

https://www.acwing.com/solution/content/1393/

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