线性代数运算方法总结

线性方程组的行列式解法（克拉默法则）

首先写出方程的系数行列式，第一列x1第二列x2以此类推，然后用每个方程式的结果分别代替第一列到第列，得到每个未知数对应的代数行列式，方程的解为代数行列式比系数行列式

逆序数的计算方法

正常排列为12345，从第一个开始从左到右到被比较的数，但凡有一个数比被比较数大，逆序数加一

奇排列与偶排列

1.对换操作：将排列的两项交换的操作，任意一个排列经过一系列对换后可以得到任意目标排列

2.对换性质：每次对换排列都会在奇排列和偶排列之间交换，排列的对换次数的奇偶性与排列具有相同的奇偶性。

3.n个元素的排列中，奇排列与偶排列的个数相等为二分之n的阶乘个

计算行列式

1.直接计算法：先对对角线元素乘积进行列式，然后再一次计算

2.代数余子式法：某一行的各个元素乘其对应的代数余子式（-1的行数加列数次方，然后乘余子式，即行列式除了元素对应的行列之外所有的元素构成的行列式，余子式的阶数为n那么就是n阶代数余子式）

3.范德蒙德行列式：行列式的列都可表示为1,a,a方，a立方等，那么计算为a的之后所有元素减a，然后用a的后一项代替a再减。

4.运用行列式变换利用行列式性质解决

5.类似分块矩阵的方法：乘法法则：对行列式进行分块然后计算

行列式的变换

1.行列式与它的转置行列式相等（即行和列交换）

2.交换行列式的两行，等于结果乘-1

3.一个数乘行列式的某一行，等于这个数乘这个行列式

4.行列式的某一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变

行列式为0的特征

1.两行元素相等

2.一行全为0

3.两行元素成比例

行列式与线性方程组的解

1.线性非齐次方程组，可以使用克拉默法则

2.线性齐次方程组

        1.所有线性方程组都有解，共同具有的就是0解，即所有未知数都为0

        2.与线性齐次方程组的系数行列式的关联

                1.行列式的结果不为0，那么只存在0解

                2.行列式结果为0，那么存在非0解

向量的性质

1.行向量与列向量：行向量为横着的向量，列向量为竖着的向量

2.维数：向量中元素的个数

3.向量相等的条件：行列性相同，元素个数与内容相同

4.向量的乘法：两个向量的第一项相乘再加两个向量的第二项相乘以此类推

5.数与向量的乘法：直接乘向量的每一个元素

6.向量的模：向量乘自身之后得到的值开根号，而向量的模为1的时候此向量称为单位向量

7.向量的单位化：先求出向量的模，然后用向量的模乘向量的每一项

8.向量的正交为向量的乘积为0

向量的模的性质

1.向量的模为正数或0

2.k倍向量的模等于k的绝对值乘向量的模

3.施瓦茨不等式：|a*b|<=|a|*|b|:向量的积的模小于等于向量的模的积

4.三角不等式：|a|-|b|<=|a+b|<=|a|+|b|

向量的线性相关性

1.如果一组向量中任何一个向量都可以由其余向量的倍数的和表示，那么这组向量线性相关，倍数可以为0

2.零向量可以由任意向量线性表示

3.向量组中任意向量都可以由这个向量组线性表示（除了这个向量的其余向量的倍数都为0，这个向量的倍数为1）

4.任意向量可以用同维的单位向量表示

做题常用的线性相关性

1.一组向量中的每个向量乘任意倍数后等于0，这些倍数可以找到一组不全为0的，那么此向量组线性相关，否则线性无关

2.向量组线性相关的特殊情况：

        1.有多个向量呈比例

        2.含有零向量

        3.向量组就是一个0向量（且为充要条件）

3.一个非零向量必线性无关（且为充要条件）

4.向量组中一部分向量线性相关则向量组线性相关（其余向量的倍数为0即可）

5.向量组线性无关，那么无论把其中向量的维数提高到多少，向量组也是线性无关的

6.向量组线性相关，那么无论把其中向量的维数减少到多少，向量组也是线性相关的

7.向量组对应的行列式等于0线性相关，否则线性无关（齐次线性方程组的性质）

向量线性相关的性质

1.向量组线性相关，那么至少一个向量可以用其余向量的表示

2.向量组线性无关，但加了一个向量线性相关，那么该向量可以由之前的向量组唯一表示

3.证明唯一性需要假设两个再判断相等

4.如果无关向量组可以由另一个无关向量组表示，那么后一个向量组的元素数大于或者等于前一个的

5.向量的个数大于维数，向量线性相关，两个等价线性无关组向量个数相等

向量组的秩

1.极大线性无关组：一个向量组可以由其中几个线性无关向量线性表示，那么这些向量组成的向量组为该向量组的极大无关组，一个向量组的极大线性无关组的向量个数都相等

2.向量组的秩为极大线性无关组向量的个数，它的最大值为向量的维数或者向量个数的较小者

矩阵的分类

1.实矩阵与复矩阵：由实数与负数构成的矩阵

2.零矩阵：全为0的矩阵

3.某矩阵的负矩阵：矩阵的所有元素乘-1

4.行矩阵与列矩阵：参考行向量与列向量

5.n阶矩阵（n阶方阵）：行数等于列数等于n

6.上下三角矩阵：参考上下三角行列式（此行列式的值为对角线数据的乘积）

7.n阶对角矩阵：除去对角线所有元素都为0的矩阵

8.阶梯矩阵：

        1.有0行则在非0行下方

        2.从第一行起，下面的从左到右第一个非0元素前面的元素依次增加且可以没有规律

9.最简形矩阵

        1.在阶梯矩阵的基础上，首非0元为1，且首非0元所在列的其余元素都为0

10.同行矩阵与同阶矩阵：两个矩阵的行数或者列数都相等

11.如果两个矩阵满足10条且所有元素相等，那么两个矩阵相等

12.单位矩阵：类似数乘运算的1，为一个最简形矩阵且每一列都有一个首非0元

矩阵的乘法

1.一个数乘矩阵等于数乘矩阵的每一项

2矩阵的乘法.

        条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数        

        第一个矩阵的行分别乘第二个矩阵的列，最后得到一个新矩阵，此矩阵有两个特征：行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数

矩阵乘法的性质

1.矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律，因为需要根据两个矩阵的行数和列数判断矩阵乘法的可行性

2.在计算矩阵的乘方时，常把乘方展开再运用结合律消去其中的某些项

3.当矩阵相乘为0时，不能判断某个矩阵为0，AB=AC时，也不能判断B=C

转置矩阵

1.前情回顾：转置行列式不改变行列式的值

2.转置矩阵的转置矩阵等于原矩阵

3.表示方法，如果A表示原矩阵那么A的T次方表示转置矩阵

转置矩阵的性质

1.转置矩阵的和等于和的转置矩阵

2.k倍矩阵的转置矩阵等于k倍的矩阵的转置

3.AB的转置等于B的转置乘A的转置，注意顺序

转置矩阵与对称方阵

1.对称矩阵：指矩阵转置后与原矩阵相等的情况

2反对称矩阵：指矩阵转置后与原矩阵互为相反数

3.判断方法：

        对称矩阵：元素关于主对角线对称

        反对称矩阵：元素的绝对值关于主对角线对称且对角线上下两侧对应的元素符号相反，且主对角线元素必须等于0

方阵行列式的性质

1.转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式

2.k倍方阵A的行列式等于k的n次方乘A的行列式，其中n为方阵的阶数

3.AB的行列式等于A的行列式乘B的行列式

4.A矩阵的行列式表示为|A|

分块矩阵

1.标准型矩阵：指分块后出现单位矩阵和0矩阵且只有这两者的矩阵，不一定是方阵

2.分块矩阵的运算与向量运算相同

3.分块矩阵求转置：分块矩阵求转置然后每个子块求转置

伴随矩阵

1.只有方阵有伴随矩阵，且任何方阵都有伴随矩阵

2.伴随矩阵的计算方法：计算每一个元素的代数余子式（注意代数两个字，且为行列式的值），然后每一行各个元素对应的代数余子式按列排放（按行求按列放），矩阵的伴随矩阵表示为A*

伴随矩阵的运算性质

1.AA*=A*A=|A|E

2.|A*A|=|A|*|A*|=|A|的n次方（n为阶数），也可以表示为|A*|=|A|的n-1次方

逆矩阵

1.n阶方阵A（注意为方阵），存在同阶方阵B满足AB=BA=E，则AB互为逆矩阵。

2.A的逆矩阵表示为A的-1次方

3.不是所有的方阵都可逆，比如0矩阵

4.可逆方阵的逆矩阵是唯一的

5.A可逆，A的逆矩阵的逆矩阵为A

6.证明逆矩阵：设同阶未知矩阵，相乘等于E然后进行配凑求该矩阵

7.A,B可逆，则AB可逆，且AB的逆矩阵等于B的逆矩阵乘A的逆矩阵（注意顺序），证明时写定义并消去B*B的逆矩阵，在证明时常常使用该性质消去一些项

逆矩阵的运算性质

1.A可逆那么A的转置也可逆，且A的转置的逆等于A逆的转置，可以认为转置和逆为同阶运算可以调换位置

2.k不等于0，那么kA的逆矩阵等于k分之一乘A的逆矩阵

3.A可逆，A的行列式等于A逆的行列式分之一

4.A可逆，A*可逆等于A的韩律师分之一乘A

方阵可逆的条件

方阵行列式不等于0

求逆矩阵

A的行列式分之一乘A的伴随矩阵，该式变形后可求A的伴随矩阵

在方程中消去矩阵可以左乘或右乘该矩阵的逆矩阵，不能同除矩阵，且矩阵方程中1要变为E，在使用逆矩阵时首先要证明A的可逆性

求二阶行列式的逆矩阵：主对角线元素交换副对角线元素乘-1再除行列式的值

矩阵的秩

1.矩阵的秩写做r(矩阵名)

2.A为M行N列的矩阵，0<=r(A)<=min(M,N)，r(A)=M为行满秩，r(A)=N为列满秩，二者统称为满秩，其余情况称为降秩

3.A为方阵且A满秩为A可逆的充要条件

4.如果r(A)=a，那么至少有一个a阶子式不为0且所有大于a阶的子式都为0

5.一般先将矩阵化为行最简型，且化完后矩阵的非0行为矩阵的秩

6.初等变换不改变矩阵的秩

 矩阵的初等变换

1.按类型分：初等行变换（动行），初等列变换（动列）

  2.按方式分：

                1.交换矩阵的两行或者两列

                2.用一个不为0的数乘矩阵的某一行

                3.用一个任意的数乘矩阵的某一行或某一列再加到另一行或另一列

初等矩阵

   1.E（i,j）：指单位矩阵的第i列和第j列互换，或者第i列与第j列互换，分辨方法见下文

        2.E（i(k)）:指单位矩阵的i行或i列乘k

        3.E（i(k),j）：指单位矩阵的j行加i行的k倍。

        4.所有初等矩阵均可逆,且它的逆矩阵也是初等矩阵，E(i,j)的逆矩阵为它本身，E（i(k)）的逆矩阵为E（i(k分之一)），E(i(k),j)的逆矩阵为E（i，j(-k)）

        5.初等矩阵的转置矩阵也是初等方阵

        6.任何矩阵都可经过变换得到一个初等矩阵，而可逆矩阵的对应初等矩阵为单位矩阵且可表示为有限个初等矩阵的乘积。

       7.任何A的初等行变换等于A左乘对应单位矩阵的初等行变换，任何A的初等列变换等于A右乘对应单位矩阵的初等列变换。

        8.由第6条，可逆矩阵A乘其逆矩阵（表示为有限个初等矩阵的乘积）等于E，而A做了某些初等变换得到E的同时，E也可以做相同的初等变换得到A的逆矩阵

线性空间与向量的基

1.非空集合中的元素满足任意两个元素做加法得到的值也在集合中，且从某数域上取任意值乘集合中的任何元素得到的值也在集合中，那么可以说集合是在数域下的线性空间。

2.线性空间满足加法乘法的结合律交换律分配律。

3.加法，乘法，元素均为广义上的，可以由出题人设定

4.单独一个零向量组成的向量空间为零空间。

5.线性空间的非空子集称为子空间，也是线性空间，只有0向量和线性空间本身的两个线性空间，被称作平凡子空间，其余为非平凡子空间。

6.向量的基类似于单位向量，只要在线性向量组中的线性无关向量，就是向量的基，基的数量称为维数

7.在线性空间中如果无法计算向量的维数，那么此线性空间被称为无限维向量空间，否则被称为有限维向量空间。