数据结构树，二叉树，堆

目录

1.树概念及结构

2. 树的表示

3.二叉树概念及结构 

特殊的二叉树

 二叉树的性质

二叉树选择题

二叉树的存储结构

4.堆的概念及结构

 父亲孩子下标关系​编辑

 堆的实现接口

堆结构体设计+堆的初始化+堆的销毁

堆的插入(附：向上调整算法)

堆的删除

取堆顶数据+堆的大小+堆的判空

5.堆的应用

1.堆排序

建堆 （时间复杂度为o（N））

2.TOP-K问题

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万物皆有裂痕,那是光照进来的地方
 

1.树概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

因此，树是递归定义的。

 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

2. 树的表示

介绍最常用的一种孩子兄弟表示法。

（结点指向左孩子，孩子再指向自己的兄弟）

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

3.二叉树概念及结构 

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

 只有一个孩子和没有孩子也可以称为二叉树

特殊的二叉树

满二叉树和完全二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

（每一层都是满的） 

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

（前h-1层都是满的，最后一层可以不满，从左到右是连续的）

 二叉树的性质

二叉树选择题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

由性质可知，n0 = n2+1.   n0 = 199+1 = 200

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

首先分析题干，如何求叶子节点的个数？和节点个数相关的公式有二：

n0 = n2 + 1，N = n0 + n1 + n2

已知总个数N为2n，那么只要知道n1即可求出n0.

这里有一个重要的结论：

在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点；如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点。

2n为偶数，因此有一个度为1的节点。

2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1

2n = 2n0

n0 = n，故选A

 

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

本题同上。此时共有奇数个节点，因此没有度为1的节点，即n1 = 0.

由 N = n0 + n1 + n2得： 767 = n0 + 0 + n0 - 1

n0 = 768/2 = 384

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

把h带进去，10在这个范围里面，所以选B 

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示 完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用 中只有堆才会使用数组来存储 。二叉树顺序存储在 物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

 

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}

4.堆的概念及结构

 

 父亲孩子下标关系

 堆的实现接口

堆结构体设计+堆的初始化+堆的销毁

typedef int HPDateType;
typedef struct Heap
{
	HPDateType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void HeapInit(HP* php)
{

	php->size = 0;
	php->capacity = 0;

	php->a = NULL;

}

void HeapDestory(HP* php)
{
	free(php->a);
	php->a = NULL;

	php->size = php->capacity = 0;
	
}

堆的插入(附：向上调整算法)

void HeapPush(HP* php, HPDateType x)

{
	//插入进行扩容
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDateType* tmp = (HPDateType*)realloc(php->a,sizeof(HPDateType)*newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			//判断一下是否开辟失败
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);    //结束程序
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}


	php->a[php->size] = x;
	php->size++;


	//向上调整，从刚刚插入孩子的位置
	Adjustdown(php->a, php->size - 1);
}

向上调整算法

//小堆
void Adjustdown(HPDateType*a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child>0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			HPDateType* tmp = a[child];
			a[child] = a[parent];
			a[parent] = tmp;

			child = parent;
		    parent = (child - 1) / 2;
		}
		else 
		{
			break;
		}
	}

}

孩子调整的结束条件是到根结点，跟结点的下标是0，所以大于0就一直调整

堆的删除

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	//堆顶和最后一个数据互换
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	//从堆顶开始调整，堆顶是下标是0
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

向下调整

void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n )
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}

}

 插入删除的时间复杂度都是o(logN）

取堆顶数据+堆的大小+堆的判空

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;

}

测试接口

#include"Heap.h"

int main()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);

	int a[] = { 65, 100, 70, 32, 50, 60 };

	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	return 0;

}

大堆的实现把 < 符号改成＞符号即可。

5.堆的应用

1.堆排序

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆 （时间复杂度为o（N））

 

void HeapSort(int* a, int n)
{
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
          //n-1是最后一个位置的下标,再-1除2找父亲
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	for (int end = n - 1; end > 0; --end)
          //最后一个位置下标为n-1，遍历一下，再交换，向下调整，循环
	{
		Swap(&a[end], &a[0]);
		AdjustDown(a, end, 0);
	}
}
int main()
{
	int a[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");

	return 0;
}

时间复杂度 

堆排序N*logN 

冒泡排序 N*2

2.TOP-K问题