根据马科维兹Markowitz理论计算资产组合的比例, 2022-06-22

(2022.06.22 Wed)
Markowitz在20世纪50年代引进了均值-方差模型成了现代证券组合理论的基石。

证券组合理论

在该理论中通常有n种标的可投，每种标的的收益率可以看做是随机变量，记为，相应的均值为，方差记为，和的相关系数记作。

一个假定是，投资者追求高收益而规避风险，或者有高均值而无大的方差。但经验告诉我们高收益总是伴随高风险。根本解决方案在于通过证券组合(portfolio)，即资金分散于各种证券，用于分散风险。

基于上面分析，设n种标的的资金比例分别为，有
总的收益率是
因此平均收益率为
方差为

一般来说，远小于，也就是说分散投资之后的风险显著降低。若充分分散化，比如，则有
如果大部分标的不相关或弱相关，则上式可以简化成

标的比例计算

根据前面推导结果，计算最小情况下的，就可以确定不同标的在如何搭配时风险最小。这是一个线性约束下饿二次规划问题。

这里我们计算一种特例，即只有两种标的下的持有比例。在分析之前，首先回顾一下期望、方差、协方差这几个概念。

数学概念

期望expectation\mean：设(读作xi)为一离散型随机变量，它的取值对应的概率是如果级数绝对收敛，则把它称作的数学期望(mathematical expectation)，简称期望或均值(mean)，记作。
当该级数发散，则说的期望不存在。
连续情况：设具有概率密度函数的连续性随机变量，当积分绝对收敛时，称之为的数学期望或均值，记作，即
如果的分布函数为，则期望的定义为
方差variance：描述了随机变量对于其数学期望的偏离程度(dispersion)
定义：若存在，则称它为随机变量的方差，并记作，而成为根方差、均方差、标准差(standard deviation)或波动率(volatility)。
离散情况下方差的计算
或在加权情况下
协方差(covariance)：不同随机变量偏离其期望的程度。
定义：称
称为和之间的相关系数(correlation coefficient)。
根据定义，可推得
当相关系数为正，称两随机变量正相关，负则负相关。

计算推导过程

假定两只投资标的的波动率(volatility)/标准差(standard deviation)分别为，求两只标的怎样持有才能保证风险最小。

推导过程：
有，相关系数为默认为0，求两个标的上分配的资金比例。
portfolio只有两个标的，于是有
组合的收益率表示为
组合的平均收益率为
组合的方差为
$\begin{aligned} \sigma^2 &= E(r-\overline r)^2 \\ \sigma^2 &= E((w_1 r_1 -w_1\overline r_1) + (w_2 r_2 -w_2\overline r_2))^2\\ \sigma^2 & =E(w_1r_1-w_1\overline r_1)^2 + E(w_2r_2-w_2\overline r_2)^2+2w_1w_2E((r1-\overline r_1)(r_2-\overline r_2))\\ \sigma^2 &=w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2+ 2w_1w_2\rho_{12} \end{aligned}$
根据前面已知条件，组合的方差可简化为
根据上式，在的时候该portfolio的风险最小，。

Reference

1 概率论基础第三版，李贤平著，复旦大学出版社