【数学】最大公约数与欧几里得算法

最大公约数

记 $a,b$ 的最大公约数为 $\gcd (a,b)$。
若 $k|a$ 且 $k|b$ 且 $\forall k^{\prime }>k$ 有 $k^{\prime }\nmid a$ 或 $k^{\prime }\nmid b$，则 $k=\gcd (a,b)$
同时，记最小公倍数为 $\text{lcm}(a,b)=\frac{ab}{\gcd (a,b)}$

• $\gcd (a,b)=\gcd (b,a)$
  易证。
• $\gcd (-a,b)=\gcd (a,b)$
  易证。
• $\gcd (a,a)=\mid a\mid$
  易证。
• $\gcd (a,0)=\mid a\mid$
  易证。
• $\gcd (a,1)=1$
  易证。
• $\gcd (a,b)=\gcd (b,a-b)$
  由 $p|a,p|b\Rightarrow p|a-b$ 易证。
• $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$
  可以由 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a-b)$ 简单推导而来。
• $\gcd (ac,bc)=c\cdot \gcd (a,b)$
  设 $\gcd (a,b)=m,a=pm,b=qm,\gcd (p,q)=1$
  则 $\gcd (ac,bc)=\gcd (pmc,qmc)=mc=c\cdot \gcd (a,b)$
  即 $\gcd (ac,bc)=c\cdot \gcd (a,b)$
• $\gcd (a,b+ac)=\gcd (a,b)$
  由 $p|a,p|b\Rightarrow p|b+ac$ 易证。
• 若 $c|\gcd (a,b)$，则 $\gcd (\frac{a}{c},\frac{b}{c})=\frac{\gcd (a,b)}{c}$
  设 $\gcd (a,b)=m,a=pm,b=qm,\gcd (p,q)=1$
  则 $\gcd (\frac{a}{c},\frac{b}{c})=\gcd (\frac{pm}{c},\frac{qm}{c})=\gcd (\frac{m}{c},\frac{m}{c})=\frac{m}{c}=\frac{\gcd (a,b)}{c}$
  即 $\gcd (\frac{a}{c},\frac{b}{c})=\frac{\gcd (a,b)}{c}$

欧几里得算法

根据基本性质 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$，由此式不断迭代，直到遇到式子 $\gcd (a^{\prime },0)$ 时，返回 $a^{\prime }$，即为最大公约数。

代码

int gcd(int a,int b){
	if (b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

参数

• 时间复杂度：$\Theta (\log (\max (a,b)))$
• 空间复杂度：$\Theta (1)$

练习

• 洛谷P1029最大公约数和最小公倍数问题
• 洛谷P2118比例简化