唯一分解定理

唯一分解定理

1.内容

任何一个大于1的整数n都可以分解成若干个质数的连乘积，如果不计各个质数的顺序，那么这种分解是惟一的，即若n>1，则有
$$n=\prod p_i^j$$
这里的$$p_i$$是质数。

可以进行简单证明，假设$$p_i$$是合数，那么它可以接着分解为两个数相乘的形式，所以最后$$p_i$$一定是质数。

2.唯一分解定理模板代码

模板代码其实也是唯一分解定理的直接应用，给一个整数n，问有多少个质数是n的约数。这里就需要进行分解，也就是用到了唯一分解定理，我们直接上代码，然后逐一解释难懂的地方。

import java.util.Scanner;

public class Main {
public static void main(String[] args) {
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    long n = scanner.nextLong();
    int ans = 0;
    for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
        if(n%i==0) ans++;
        while(n%i == 0) {
            n = n / i;
        }
    }
    if(n > 1) {
        ans++;
    }
    System.out.println(ans);
}
}

1. 一般n可能给的很大，注意最好用long类型
2. 我们如果要求一个数的因数，会从1开始遍历进行试除，那么应该遍历到哪里呢？是n吗？其实遍历到$$\sqrt{n}$$就可以了。因为如果找到了一个因子为a，那么大于$$\sqrt{n}$$的另一个因子就是n/a
3. 很明显这个for循环我们是在采用试除法来求n的因子，但是我们如何保证求到的因子是质因子呢？这就是里面的while循环的作用了。给大家举个例子，n=36，6是它的因子，但是不是质因子，那么我们会不会遍历到它呢？i=2时，在while循环里就把36里的所有2都除没了，此时n=9。i=3时，在while循环里就把36里的所有3都除没了，此时n=1。那么此时的n里面已经不包含6了，因为6是由2和3构成的，在遍历到6之前，n里的所有的2和3都没有了，自然也就没有6了。这就是while循环的作用，他保证了我们找到的因子一定是质数
4. 最后一个地方，为什么在代码的最后要加一个if判断呢？还是给大家举一个例子，比如n=396，i=2时，n=99。n=3时，n=11。当i=4时i>$$\sqrt{n}$$，所以for循环退出了。但是你也可以发现，11也是n的一个质因子，所以我们在最后要判断一下，防止把这种情况漏了。

练习题目

3.应用

（1）求正整数n的正因子个数

假设n的分解公式如下，
$$n=p_0^{j_0}\ast p_1^{j_1}\ast p_2^{j_2}...\ast p_k^{j_k}$$
则n的因子个数为$(j_0+1)\ast (j_1+1)\ast (j_2+1)...\ast (j_k+1)$个。

简单理解一下，对于$2^3\ast 3^2\ast 5^3$来说，可以选择一个2，其余质因子不选，则2是其因子，也可以选择两个2和一个3，则12是其因子，总的来说，假设n包含m个质因子p，则对于p我有m+1中选择，即[0,m]。

做个类比，我有红球3个，绿球5个，他们共有多少种不同的组合，肯定是46吧，那么n的因子个数为$(j_0+1)\ast (j_1+1)\ast (j_2+1)...\ast (j_k+1)$同理。

模板代码如下，

import java.util.Scanner;

public class 约数个数 {
public static void main(String[] args) {
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    long n = 1200000;
    int ans = 1;
    for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
        int cnt = 0;
        while(n%i == 0) {
            n = n / i;
            cnt++;
        }
        ans *=(cnt+1);
    }
    if(n > 1) {
        ans *= 2;
    }
    System.out.println(ans);
}
}

练习题目