时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

1. 引入

时间复杂度是为了去刻画大家构建的算法的运行时间,而运行时间与语句的执行次数呈现正比,但是精确化计算会给平时估量算法带来不便,所以我们一般用估测值来大概衡量算法
为了更好的估测用来大概描述算法,我们就要引入大O的渐进表示法

2. 大O渐进表示法

1. 对于常数执行次数,用常数1表示
   如下:

	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << i << " ";
	}

用大O渐进表示法表示就是O(1).在固定的执行次数下,所有的常量都可以被看作是相等的,因为它们对算法的整体性能没有影响。因此,在日常代码中,我们通常会忽略这些常量,而将注意力集中在算法的主要部分和关键性能因素上。

2. 对于用变量来表示的执行次数,要取变量最高阶项,而变量都统一用N表示
   如下:

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			cout << "1";
		}
	}
for (int j = 0; j < n; j++)
{
	cout << "1";
}

如上代码,n的最高阶项是n的平方,用大O渐进表示法表示就是O(N^2)

• 对于最高阶项前可能存在的常数都统一看作为1
  如下:

	for (int j = 0; j < 2*n; j++)
	{
		cout << "1";
	}

此处的时间复杂度表示为O(N),将系数2看作1

• 对于存在不同的变量值且未知的情况下,往往都要考虑
• 如下:

	for (int j = 0; j < N; j++)
	{
		cout << "1";
	}
	for (int j = 0; j < M; j++)
	{
		cout << "1";
	}

此处时间复杂度为O(M+N)

• 上文对于大O渐进表示法的描述不难看出我们会忽视一些对于东西,使大O表示法会变得简洁明了
• 在考虑时间复杂度时,我们考虑最坏情况,就比如说我们要一堆数里的一个数字,可能会第一次就可以找到,但也可以到最后才找到,实际情况下我们都要考虑最坏情况就是栗子中的最后找到的情况
  大家可以考虑一下求斐波那契数列中第n个的大小(递归方法)
  如下:

int Fib(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	if (n > 2)
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

大家可以参考我画的这张图:

斐波那契数列的调用方式类似于二叉树,但到最后可以看出,因为条件限制,n等于1或2时停止,并返回值,
权当作不完全二叉树,我们以估算值来表示就是2的n次方,时间复杂度就是O(2^N)
将函数栈帧及其变量参数的构建看作O(1)是一种合理的近似处理方式,不过可能会涉及动态内存管理等复杂的操作可能会使改变时间复杂度
可以把斐波那契数列函数改一下:

int Fib(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	if (n > 2)
		return Fib(n - 1);
}

如上函数调用,时间复杂度就是O(N)

空间复杂度

空间复杂度是衡量临时占用空间大小的量度,可以看作除去提供的参数外,额外开辟的内存,比如内存申请,变量额外创建等.算法本身所需的空间,除去输入参数外,这可能包括为解决问题而创建的数据结构,变量和中间结果所占用的空间

算法使用的空间不因输入数据的大小而改变,为固定值,此时空间复杂度为O(1)

对于函数而言,计算空间复杂度还要额外考虑递归占用的栈空间等
还是斐波那契的栗子:

int Fib(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	if (n > 2)
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

大家可以尝试一下计算一下上面代码的空间复杂度

大家可以看一下函数栈帧的创建和销毁过程

对于递归的斐波那契函数,大家可以尝试去自己调试一下

int Fib(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	if (n > 2)
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);//在调试这段代码时,不会出现同时调用Fib(n-1)和Fib(n-2)的情况
		//而是先调用Fib(n-1)然后在Fib(n-1)栈帧结束后,再调用Fib(n-2)
}

这样递归斐波那契的空间复杂度可以类比树的深度,可以理解为上图层数,空间复杂度是O(N)