CSP-202309-2 坐标变换(其二)(模拟,c++,vector建二叉树)

计算机软件能力认证考试系统

问题描述

试题编号: 202309-3
试题名称: 梯度求解
时间限制: 1.0s
内存限制: 512.0MB
问题描述:

背景
西西艾弗岛运营公司近期在大力推广智能化市政管理系统。这套系统是由西西艾弗岛信息中心研发的。它的主要目的是,通过详细评估岛上各处的市政设施的状况,来指导市政设施的维护和更新。这套系统的核心是一套智能化的传感器网络,它能够自动地对岛上的市政设施进行评估。对市政设施的维护是需要一定成本的,而年久失修的市政设施也可能给岛上的居民造成损失。为了能够平衡成本和收益,信息中心研发了一款数学模型,描述这些变量和损益之间的复杂数学关系。要想得到最优化的成本,就要依靠梯度下降算法来求解。

梯度下降算法中,求解函数在一点处对某一自变量的偏导数是十分重要的。小 C 负责实现这个功能,但是具体的技术实现,他还是一头雾水,希望你来帮助他完成这个任务。

问题描述
设被求算的函数 u=f(x1,x2,…,xn),本题目要求你求出 u 对 xi 在 (a1,a2,…,an) 处的偏导数 ∂u∂xi(a1,a2,…,an)。

求算多元函数在一点处对某一自变量的偏导数的方法是:将函数的该自变量视为单一自变量,其余自变量认为是常数,运用一元函数求导的方法求出该偏导数表达式,再代入被求算的点的坐标即可。

例如,要求算 u=x1⋅x1⋅x2 对 x1 在 (1,2) 处的偏导数,可以将 x2 视为常数,依次应用求导公式。先应用乘法的求导公式:(x1⋅(x1⋅x2))′=x1′(x1⋅x2)+x1(x1⋅x2)′;再应用常数与变量相乘的求导公式,得到 x1′⋅x1⋅x2+x1⋅x2⋅x1′;最后应用公式 x′=1 得到 1⋅x1⋅x2+x1⋅x2⋅1。整理得 ∂u∂x1=2x2⋅x1。再代入 (1,2) 得到 ∂u∂x1(1,2)=4。

常见的求导公式有:

(是常数)c′=0 (c是常数)
x′=1
(u+v)′=u′+v′
(是常数)(cu)′=cu′ (c是常数)
(u−v)′=u′−v′
(uv)′=u′v+uv′
本题目中,你需要求解的函数 f 仅由常数、自变量和它们的加法、减法、乘法组成。且为程序识读方便,函数表达式已经被整理为逆波兰式(后缀表达式)的形式。例如,x1⋅x1⋅x2 的逆波兰式为 x1 x1 * x2 *。逆波兰式即为表达式树的后序遍历的结果。若要从逆波兰式还原原始计算算式,可以按照这一方法进行:假设存在一个空栈 S,依次读取逆波兰式的每一个元素,若读取到的是变量或常量,则将其压入 S 中;若读取到的是计算符号,则从 S 中取出两个元素,进行相应运算,再将结果压入 S 中。最后,若 S 中存在唯一的元素,则该表达式合法,其值即为该元素的值。例如对于逆波兰式 x1 x1 * x2 *,按上述方法读取,栈 S 的变化情况依次为(左侧是栈底,右侧是栈顶):

x1;
x1,x1;
(x1⋅x1);
(x1⋅x1),x2;
((x1⋅x1)⋅x2)。
输入格式
从标准输入读入数据。

输入的第一行是由空格分隔的两个正整数 n、m,分别表示要求解函数中所含自变量的个数和要求解的偏导数的个数。

输入的第二行是一个逆波兰式,表示要求解的函数 f。其中,每个元素用一个空格分隔,每个元素可能是:

一个自变量 xi,用字符 x 后接一个正整数表示,表示第 i 个自变量,其中 i=1,2,…,n。例如,x1 表示第一个自变量 x1。
一个整常数,用十进制整数表示,其值在 −105 到 105 之间。
一个运算符,用 + 表示加法,- 表示减法,* 表示乘法。
输入的第三行到第 m+2 行,每行有 n+1 个用空格分隔的整数。其中第一个整数是要求偏导数的自变量的编号 i=1,2,…,n,随后的整数是要求算的点的坐标 a1,a2,…,an。
输入数据保证,对于所有的 i=1,2,…,n,ai 都在 −105 到 105 之间。

输出格式
输出到标准输出中。

输出 m 行,每行一个整数,表示对应的偏导数对 109+7 取模的结果。即若结果为 y,输出为 k,则保证存在整数 t,满足 y=k+t⋅(109+7) 且 0≤k<109+7。

样例 1 输入
2 2
x1 x1 x1 * x2 + *
1 2 3
2 3 4

样例 1 输出
15
3

样例 1 说明
读取逆波兰式,可得被求导的式子是:u=x1⋅(x1⋅x1+x2),即 u=x13+x1x2。

对 x1 求偏导得 ∂u∂x1=3x12+x2。代入 (2,3) 得到 ∂u∂x1(2,3)=15。

对 x2 求偏导得 ∂u∂x2=x1。代入 (3,4) 得到 ∂u∂x2(3,4)=3。

样例 2 输入
3 5
x2 x2 * x2 * 0 + -100000 -100000 * x2 * -
3 100000 100000 100000
2 0 0 0
2 0 -1 0
2 0 1 0
2 0 100000 0

样例 2 输出
0
70
73
73
999999867

样例 2 说明
读取逆波兰式,可得被求导的式子是:u=x2⋅x2⋅x2+0−(−105)⋅(−105)⋅x2,即 u=x23−1010x2。

因为 u 中实际上不含 x1 和 x3,对这两者求偏导结果均为 0。

对 x2 求偏导得 ∂u∂x2=3x22−1010。

评测用例规模与约定
测试点    n    m    表达式的性质
1, 2    =1    ≤100    仅含有 1 个元素
3, 4    =1    ≤100    仅含有一个运算符
5, 6    ≤10    ≤100    含有不超过 120 个元素,且不含乘法
7, 8    ≤10    ≤100    含有不超过 120 个元素
9, 10    ≤100    ≤100    含有不超过 120 个元素
提示
C++ 中可以使用 std::getline(std::cin, str) 读入字符串直到行尾。

当计算整数 n 对 M 的模时,若 n 为负数,需要注意将结果调整至区间 [0,M) 内。

解析:

参考来源:第31次CCF计算机软件能力认证 - ~Lanly~ - 博客园 (cnblogs.com)

从题目中可以看逆波兰式就是表达树的后序遍历,所以我们可以利用二叉树的递归遍历进行求解。

同时,我们可以利用vector向量建立二叉树,用链表也行,但是会比较麻烦。

具体请看代码:

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
#define CH 1
#define CONST 2
#define OP 3
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m;
vectorlc;
vectorrc;
vectorinfo;
vectorkind;
stackstk;
vectora(200);
// 定义递归函数 solve,计算表达式树节点的值和导数
pair solve(int u, int x) {
	if (kind[u] == CH) {
		return pair{a[info[u]], (info[u] == x)};
	}
	else if (kind[u] == CONST) {
		return pair{info[u], 0};
	}
	else {
		auto lans = solve(lc[u], x), rans = solve(rc[u], x);
		int sum = 0, dsum = 0;
		if (info[u] == '+') {
			sum = lans.first + rans.first;
			dsum = lans.second + rans.second;
		}
		else if (info[u] == '-') {
			sum = lans.first - rans.first;
			dsum = lans.second - rans.second;
		}
		else {
			sum = 1ll*lans.first * rans.first % mod;
			dsum = (1ll*lans.first * rans.second%mod + 1ll*lans.second * rans.first%mod);//1ll 是一种常见的编码技巧,用于将数字字面量转换为长长整型(long long)类型。
		}
		sum = (sum % mod + mod) % mod;
		dsum = (dsum % mod + mod) % mod;
		return pair{sum, dsum};
	}
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	string s;
	getline(cin, s);
	getline(cin, s);
	int cnt = 0;
	istringstream q(s);
	//q 是一个 istringstream 对象,用于从字符串中读取数据。

	//getline(qwq, s, ' ') 是 C++ 中的输入流操作,
	//用于从输入流 qwq 中读取一行(以换行符 '\n' 结束的一行)并存储到字符串 s 中,
	//直到遇到指定的分隔符(在这里是空格 ' ')为止。

	while (getline(q, s, ' ')) {
		if (s.size() == 1 && (s[0] == '+' || s[0] == '*' || s[0] == '-')) {
			int rson = stk.top();
			stk.pop();
			int lson = stk.top();
			stk.pop();
			lc.push_back(lson);
			rc.push_back(rson);
			info.push_back(s[0]);
			kind.push_back(OP);
			stk.push(cnt);
			cnt++;
		}
		else if (s[0] == 'x') {
			int x = stoi(s.substr(1));//subStr 是从第二个字符开始的子串,stoi 将其转换为整数。
			x--;
			lc.push_back(-1);
			rc.push_back(-1);
			info.push_back(x);
			kind.push_back(CH);
			stk.push(cnt);
			cnt++;
		}
		else {
			int x = stoi(s);
			lc.push_back(-1);
			rc.push_back(-1);
			info.push_back(x);
			kind.push_back(CONST);
			stk.push(cnt);
			cnt++;
		}
	}
	int root = stk.top();
	// 处理每个查询
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x;
		cin >> x;
		x--;//由于我们是从0开始记录,所以这里要-1
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			cin >> a[j];
		}
		cout << solve(root, x).second << endl;
	}
	return 0;
}

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