【数学分析】单调有界定理的证明

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单调有界定理

若数列$x_n$单调，则数列$x_n$收敛的充分必要条件是数列$x_n$有界。

证明

不妨设$x_n$单调递增，因为递减的情况和递增证明类似。

对于充分性，即已知数列$x_n$单调递增且收敛，求证其有界。可以简单的证明若数列收敛，则其必定是有界的。

对于必要性，即已知数列$x_n$单调递增且有上界，求证其收敛。

证明: 数列$x_n$单调递增且有上界，则必定有上确界$sub\{x_n\}$，设上确界为$a$。

根据上确界的定义，对于 $\forall ϵ>0$，一定存在$N>0$，使得$a-ϵ<x_N$；

同时$x_n$是单调递增的，因此对于$n>N$， 有$x_N\le x_n$；

同时$a$又是$x_n$的上确界，因此有$x_n\le a<a+ϵ$。

综合以上式子可以发现，对于 $\forall ϵ>0$，一定存在$N>0$，使得

$$a-ϵ<x_N\le x_n\le a<a+ϵ$$

即
$$a-ϵ<x_n<a+ϵ$$

这正是收敛的定义。即$x_n$收敛到$a$。

证毕。