算法通关村第十四关—堆结构(青铜)

        堆结构

一、堆的概念和特征

 堆是将一组数据按照完全二叉树的存储顺序，将数据存储在一个一维数组中的结构。堆有两种结构，一种称为大顶堆，一种称为小顶堆，如下图。
1.小顶堆：任意节点的值均小于等于它的左右孩子，并且最小的值位于堆顶，即根节点处
2.大顶堆：任意节点的值均大于等于它的左右孩子，并且最大的值位于堆顶，即根节点处。
 有些地方也叫大根堆、小根堆，或者最大堆、最小堆。大和小的特征等都是类似的。

二、堆的构造过程

这里先假设一个节点的下标为：
1、当i=0时，为根节点。
2、当i>=1时，父节点为(i-1)/2。
size就是元素的个数，从1开始计数。

下面就看一下如何建立一个大堆：
将元素依次排到完全二叉树节点上去，如下左图所示。
a.int i = (size-2)/2 = 4（思考一下这里为什么是size-2而不是size-1)。找到数组中的4号下标。
65大于其孩子，满足大堆性质，所以不用交换。如下右图

b.然后i=i-1;然后用2和其孩子比较，2和204交换。交换之后204所在的子树满足大堆，如下左图。
c.54和其孩子比较，54和92交换。此时92所在子树满足大堆，如下右图。

d.继续，23和其孩子比较，23和204交换，交换完之后，23的子树却不满足了，所以还需调整它的子树。如下两图所示。

e.12和204交换，仍然出现不平衡衡的情况，以此类推，直到根节点也满足要求就完毕了

 这样我们就建好了一个大顶堆，从图中可以看到，根元素是整个树中值最大的那个，而第二大和第三大就是其左右子树，具体是哪个更大则是未知的，需要比较一下才知道。

三、插入操作

 从上面可以看到根节点和其左右子节点是堆里的老大老二和老三，其他结点则没有太明显的规律，那如果要插入一个新元素，该怎么做呢？直接说规则，将元素插入到保持其为完全二叉树的最后一个位置，然后顺着这条支路一直向上调整，每前进一层就要保证其子树都满足堆否则测就去处理子树，直到完全满足要求。
 看一个例子，如下图，要插入300，我们将其插入到31的右孩子位置，然后不断向上爬，31<300，所以两者要交换，再向上发现300比65大，所以两者要交换。最后300比根元素204大，两者也交换。最后就得到了新的堆。完整过程如下所示：

四、删除操作

 堆本身比较特殊，一般对堆中的数据进行操作都是针对堆顶的元素，即每次都从堆中获得最大值或最小值，其他的不关心，所以我们删除的时候，也是删除堆顶。但如果直接删掉堆顶，整个结构被破坏了。
 所以实际策略是先将堆中最后一个元素（假如为A)和堆顶元素进行替换，然后删除堆中最后一个元素。之后再从根开始逐步与左右比较，谁更大谁上位。然后A再继续与子树比较，如果有更大的继续交换，直到自己所在的子树也满足大顶堆。

最后新的堆结构如下：

总结

 堆的价值就在于大顶堆的根节点是整个树最大的那个，增加时会根据根的大小来决定要不要加，而删除操作只删除根元素。这个特征可以在很多场景下有奇妙的应用，后面的算法题全都基于这一点。
 这里可能有些人还有疑问，感觉不管插入还是删除，堆的操作都不简单，那为什么还说堆的效率比较高呢？
 这是因为堆元素的数量是有限制的，一般不用将所有的元素都放到堆里。后面题目中可以看到，在序列中找K大，则堆的大小就是K。如果K个链表合并，那么堆就是K。原理后面详细展开。
 关于堆的问题，记住口诀：

1.查找：找大用小，大的进；找小用大，小的进。
2.排序：升序用小，降序用大。

 查找的口诀解释一下就是：是找K大，则用小堆，后续数据只有比根元素更大时才允许进入堆。如果是找K小，则对应反过来。