作者：Kevin Hartnett凯文·哈特奈特，量子杂志Quanta Magazine高级作家 2021-2-3
译者：zzllrr小乐 2021-2-3
四面体是最简单的具有平坦侧面的三维形状。它的基本特性吸引了早至柏拉图和亚里士多德等人的好奇心。如今，11月份公布的结论性证明已确定找到了所有可能的特殊四面体。这项工作通过一项前沿创新，为数学家提供了一种寻找某些方程式解的新技术，从而回答了有关古代形状的问题。
“这些是理想化的数学对象，将永远伴随着我们，现在都被我们理解了，”加州大学圣克鲁斯分校的马丁·魏斯曼说。
四面体是由一个三角形底面和三个三角形侧面，形成的一个棱锥体（类似于金字塔，但不是，译者注）。两个面沿边缘相交形成“二面角”，而四面体有六个二面角。
新证明确定了设定四面体的所有不同方式，以便六个二面角都具有有理值，这意味着每个角可以恰好写成分数。它确定存在确切的59个孤立示例，再加上两个无限的四面体族满足此条件。
数学家实际上是在几十年前使用计算机搜索技术发现了这些特殊的四面体，但他们不知道是否还有更多。更广泛地说，他们不知道如何证明他们是否全部找到了。
“他们在1990年代发现了那些，但直到2020年，我们才能够证明它们是唯一的，”加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Kiran Kedlaya说。Kedlaya是该证明的合著者，还有瑞士纳沙泰尔大学的Alexander Kolpakov，麻省理工学院的Bjorn Poonen和滑铁卢大学的Michael Rubinstein。（Poonen从西蒙斯基金会（Simons Foundation）获得资金，该基金会也资助了此编辑独立出版物量子杂志）
塞缪尔·维拉斯科/ Quanta杂志
将四面体按有理二面角进行分类的问题可能看起来很简单，但是要解决这个问题需要多年的数学知识，再加上一定程度的计算能力，甚至十年前还无法获得。
“这项工作无法由某个人坐着玩着纸笔完成。他们开发了非常复杂的方法，”史密斯学院的Marjorie Senechal说。
这30页的证明中罕有绘图。取而代之的是，其逻辑取决于求解一个多项式方程（是指方程式具有系数和变量的幂，例如y= 3x ² +6）。当然，证明中所涉及的多项式要复杂得多。
“底层有很多数论，但从表面看却是几何学，” Kedlaya说。
几何学和数论之间的联系为数学家提供了一个开放的机会，但是他们必须努力工作才能利用它。这是因为要找到复杂方程式的特殊解，并证明你已经找到了所有这些解，从本质上来说是困难的。对于大多数方程，数学家都不知道该怎么做。
“没有通用的方法会永远成功。你几乎总是无法解出方程。”高级研究学院的Peter Sarnak说。
但在本例中，数学家们没有失败。通过发现一种寻找多项式方程解的新方法，他们回答了有关形状的基本问题，并可能使其他方程的解在将来更容易找到。
测试四面体
1976年，约翰·康威（John Conway）和安东尼娅·琼斯（Antonia J. Jones ）在一篇论文中首次正式提出了用有理二面角识别所有四面体（有理四面体）的问题。
这两人的动机是希望找到可以被切割并重新组装成相同体积的立方体的四面体，这种特性被称为剪刀全等（scissors congruence）。在探讨这个问题时，他们扩展了可追溯到1900年的思路，当时大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出了23个问题来指导20世纪的数学探究。他的第三个问题问，是否有任何一对相同体积的三维形状都是剪刀全等的。很快就证明这是不正确的，但是事实证明所有有理的四面体都与立方体全等的。
Kedlaya说：“ 康威和琼斯询问有理四面体是特殊的情况，这是对四面体进行分类的难题。”
这两人简单构思出找到这些四面体的方法：求解一个特定的多项式方程。他们的方程具有六个变量，对应于一个四面体的六个二面角，并且它具有105项，反映了四面体的二面角相互关联的复杂方式。（为了对比，你可以思考一个三角形的三个内角是通过一个仅包含3项的简单多项式来关联的：a+b+c= 180度。）
康威和琼斯确定的多项式方程还具有无限多个解，代表了可能的四面体的无限构型。为了找到具有全部有理二面角的解，康韦和琼斯说，数学家需要找到方程的一类特殊解，该解恰好与有理四面体相对应。
他们自己不知道如何找到解决方案，但对此项工作可以完成充满信心，并写道：“我们的技术似乎可以找到一般的四面体，其二面角都有理”。
40多年后，四位数学家证实他们俩是正确的。
单位根
康威和琼斯的策略是数学家中比较普遍的一种，他们在研究多项式方程式时经常寻找特殊类型的解。这些可以是整数或有理数解。或者，就像这项新工作一样，它们可以是带有优雅名称“单位根”的解。
大多数的单位根并不落在普通数轴上。取而代之的是，它们是在复数中找到的，像3 + 4i这样的数字，它们具有一个实部（3）和一个虚部（4）。单位根是多项式方程的解，并且具有特殊的代数性质，可以将它们提高到一定的幂，得到1。它们还具有优美的几何表示：它们都位于复平面的单位圆上。
为了一般地求解康威-琼斯多项式（Conway-Jones polynomial），数学家必须将复数分配给所有六个变量，以使105项方程为真。这些变量实际上不表示角度测量值，而是代表与角度余弦相关的复数。康威和琼斯观察到，有理四面体将对应于多项式的解，其中所有变量都是单位根。
“你的六个角在单位圆上变成六个点，需要那些复数来满足多项式方程式，” Weissman说。
塞缪尔·维拉斯科/ Quanta杂志
但是，知道这种对应关系看起来并没有那么有用。寻找一些解是一回事，证明你已经找到所有这些解，却是另一回事，完全不同，而且挑战难度更大。
1995年，新工作的这两位作者Poonen和Rubinstein实际上最终发现，具有有理二面角的四面体是哪些。本质上，他们通过插入六个有理数的组合来猜测找到它们的方式。
“你可以只尝试六个有理数并将它们插入方程中，” Poonen说。“这样做的问题是它只能使你找到解。但并不能使你知道何时找到全部解。”
寻找每一个解
在他们的新工作中，四位数学家证明了25年前发现的有理二面角四面体，Poonen和Rubinstein的清单是完整的，尚无其他例子待被发现。
他们的合作始于2020年3月，当时Poonen参加了一次演讲，其中提到了Kedlaya与另一位合作者所做的一些相关工作。为了解决不同的分类问题，此二人已经搜索了不同多项式的单位根。Poonen立即意识到了与他先前对四面体的未完成研究有关。
“Bjorn超级感兴趣，”Kedlaya说。“他说，'等等，这是我在1990年代需要的东西。'”
Poonen给Kedlaya发了电子邮件，描述了找到有理四面体的问题。他的简短电子邮件以乐观的心情结束。他写道：“在1990年代[与迈克尔·鲁宾斯坦（Michael Rubinstein）在一起]，我对此已经走得很远了，我认为，通过大量的人力和计算机工作，就有可能完成它。”
2020年，基兰·基德拉（Kiran Kedlaya），迈克尔·鲁宾斯坦（Michael Rubinstein），比约恩·普昂（Bjorn Poonen）和亚历山大·科尔帕科夫（Alexander Kolpakov）发明了一种求解方程的新方法，从中发现了所有有理二面角的四面体。
收到这封电子邮件后，Kedlaya与Kolpakov取得了联系，后者也使用单位根对几何形状的类型进行分类。同时，Poonen与他的老搭档鲁宾斯坦（Rubinstein）联系。随着团队的到位，他们迅速着手工作。
Kedlaya说：“我们定期每周开会两次，持续几个月。” 当他们开始搜索康韦-琼斯多项式的单位根的完整列表时，他们对应该寻找的位置有了非常广泛的了解。
他们知道解必须落在某个非常大的上限以下。但是上界是如此之大，以至于无法搜索其下方的所有可能性。
“六个变量的界限太可怕了。如果没有根本上的新想法，它们将远远超出可行的范围。” Sarnak说。
四位数学家通过两项主要创新使狩猎成为可能。
首先，他们降低了上界。在他们的新论文中，他们证明了代表四面体的单个复杂多项式方程本身可以用许多更简单的多项式表示。
Kedlaya说：“我们把一个六变量方程变成了由数百个简单方程构成的一个方程组。”
他们证明，这些较简单的多项式的单位根都落在一个新上界之下，而这个新上界比之前上界（与更复杂的多项式相关，庞大且难以搜索）小得多。而且由于较简单的方程与复杂的方程之间的对应关系，找到一个方程的单位根将导致另一个方程的单位根。不幸的是，即使较小的间隔对于他们来说也太大了，无法继续搜索。
作者的第二项创新是设计一种搜索此较小间隔的巧妙方法。他们知道解具有一定的对称结构-这意味着，如果在区间的一部分上有解，那么在区间的另一部分上也必须有解。
这样一来，他们就可以开发出新算法，利用这种结构来更有效地搜索。他们还在更好的计算机（比Conway和Jones提出针对此问题的单位根攻击时）上实施了这些算法。
“事实证明，得益于40年的丰富知识和更好的计算机，我们不得不对康威-琼斯的战略进行了一点升级，” Kedlaya说。
新算法搜索了更窄间隔内解的每种可能组合。基于这一详尽的最终搜索，作者最终证明只有59个孤立的具有有理二面角的四面体实例，以及两个无限的四面体家族-正是Poonen和Rubinstein早在数十年前就已经遇到过的。每个无限族中的四面体都随参数变化，从而提供了无尽的方式来增加某些角度的大小并减小其他角度，同时保持所有二面角都有理。
结果对每个人都有一些帮助。
对于有兴趣确定多项式方程式单位根的数学家，本文提供了一种寻找它们的有利新方法。特别是，作者采用将复杂的Conway-Jones多项式简化为许多简单的多项式的方法，可能适用于无法直接解决的其他困难的多项式方程。
Sarnak说：“这项工作表明，可能还有许多其他问题看似不可行，而通过这些想法是可行的。”
对于对完整性感到满意的数学家以及任何其他人，本文提供了一个新的完美答案：这些就是你梦寐以求的全部四面体。
Sarnak说：“这是一个了不起的成就。”