蓝桥杯算法全集之多重背包问题I（动态规划算法）

一、概念定义

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i种物品最多有 s i 件，每件体积是 v i，价值是 w i。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

用下面这个图来分别动态规划的四个经典背包问题

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二.动态规划的核心步骤

1. 定义状态的含义（这一步需要一定的做题经验的积累）

2. 状态的转化，建立前后状态的等式关系（一般通过最后一步的分类讨论来进行状态计算）

3. 精准定义初始值

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三：题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0

0i,wi,si≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例、

10

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四.思路分析

和前一篇完全背包问题的解法几乎一致，区别在于这里的物品的数量是有限制的，其实也很简单，答题思路一致，只需要加一个限制条件k <= s【i】就可以，s【i】指的是第i个物品的数量

根据上述的动态规划的步骤我们一步一步来思考：

1. 定义状态的含义

f【i，j】：从前i个物品中选，且最大体积不超过j的选法的集合

2. 状态计算

既然是从前i个物品当中选， 最后一步一定是决定 选几个第i个物品（这里不同于01背包问题）
a. 选取0个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j 】
b.选取1个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - v【i】】+w【i】
c.选取2个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - 2v【i】】+ 2w【i】
d.选取3个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - 3v【i】】+3w【i】
·
·
·
k.选取k个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - kv【i】】+k*w【i】

3. 精准定义初始值

这里的初值都是0，没必要修改。但是有些题目的初值是比较重要的。
比如青蛙跳级题目 剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题 - 力扣（LeetCode）

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五：万年无误代码模板（含思路解析）

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N]; // s数组是存储第i个物品的数量
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ ) // 取k个物品的体积不能超过j，且k的物品不可能超过该物品的数量
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}