【数据结构和算法】---二叉树（1）--树概念及结构

一、树的概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。之所以叫它树，是因为将此结构倒转后与现实生活中的树极其相似，一个主干分出多个分支，分支还可继续分展。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点；
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
• 基于上述，树是递归定义的。

“树”和树大致可以用如下形式表示：

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构：

以上这三种结构都不是树形结构，由此也可推断出：

1. 同一层的节点不相交（子树是不相交的）（即图一中节点C，D不能相交）；
2. 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父亲节点（即图二中节点E不能有两个父亲节点B，C）；
3. 一棵N个节点的树只能有N-1条边。

1.2 树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是E的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：C是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：D，E是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、K互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

孩子兄弟表示法： 定义一个结构体，并在其中定义两个结构体指针，一个指向下一层次的第一个孩子节点（firstChild），另一个指向同层次的第一个兄弟节点（pNextBrother），若不存在就将这些节点指向NULL。于是乎我们可以通过pNextBrother指针来遍历某一层的全部节点，通过firstChild指针来调整层次。此结构体如下定义：

typedef int TreeDataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 TreeDataType data; // 结点中的数据域
};

理论结构大致如下：

1.4 树在实际中的运用

表示文件系统的目录树结构，如Linux树状目录结构

二、二叉树的概念及结构

2.1 二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

• 或者为空
• 由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树满足的条件：

1. 二叉树不存在度大于2的结点；
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树： 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1， 则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(即如果一棵树只有右节点没有左节点，那不能成为完全二叉树)。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1。
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log以2 为底，n+1为对数。
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
2. 若2i+1，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子；
3. 若2i+2，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子。

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构：

1. 顺序存储：
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，堆结构将单独讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储：
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，红黑树等会用到三叉链。

三、树概念相关题目

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

解：叶子节点数 = 度为2的节点数 + 1，即199+1=200

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

解：因为为完全二叉树，且总节点数为偶，可以得出第2n个节点为左孩子，所以度为二的节点数为最后一个节点的父亲节点2n/2再减去1，最终的叶子节点数为2n/2-1+1 = n。

3. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（B）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

解：设高度为h，当2^h-1 >= 531且h为整数，h的最小值为10。