复形诱导生成CirclePacking的算法
1.问题描述
给定一个复形K和适当的“边界条件”，计算K对应的circle packing。
理论已证明这样的circle packing是存在且唯一的。
形如下图：
1.1符号定义与约束条件：
1)算法在欧式空间和双曲空间都成立
2）:表示点v及其一维邻域k个点，k个点逆时针排列
3），表示点v的度
4）我们强调不存在一价条件，也就是说，当顶点v和u不是邻居时，就不能保证它们的对应圆内部互不相交
5）中每个点映射为一个正实数，也就是CP中的圆半径（双曲几何中的半径可为无穷）
6）考虑下图：
有定义：
其中x，y，z既表示点，也表示点映射的半径
7）点邻域的实际角度和
8）每个内点的理想角度和应为2的正整数倍，记为，具体数值应该为已知条件
9）的边界处的半径给定，再加上复形，以及上的理想角度和，则存在与其对应的唯一的CirclePacking。
2.几何性质保证
2.1
2.2
引理1和2描述的是几个角度与圆半径的单调性关系
从几何直观很容易看出。
下面为一个关键的引理：
2.3 UNM
给定一个点，半径为，考虑其一维邻域，有：
也就是说，可以找到一个实数，来等效代替其邻域的其它不等的半径。
从而有以下引理，记为UNM：
描述了一种很奇妙的单调性，原论文中给出了证明。
3.算法雏形：
关于这个雏形，看起来有些像调和映照的思路，而其中“调和能量”将在后面给出。
4.细节：
4.1 能量函数
上式表示点处的能量，总能量即为所有点能量之和G（R）
4.2 UNM细节
Using the UNM requires two steps. First, given a value for v, determine so that .
Second, solve for a new value for v (call it u) so that
.
计算公式（欧拉平面与双区平面）在论文中已给出。
4.3局部线性收敛来加速算法
局部线性收敛满足以下等式：
可以简单推导出：
进而可用上式来加速收敛。
5.完整步骤
其中，表示UNM步骤，可以认为是能量，表示局部线性收敛的加速系数。
6.参考论文
Charles R. Collins, Kenneth Stephenson. A circle packing algorithm. Computational Geometry 25 (2003) 233–256