点云法向量与点云平面拟合的关系（PCA）

     点云法向量估计的主要思路是对K-近邻的N个点进行平面拟合（平面过N点重心），平面法向量即为所求；所以求法向量就是变相的求拟合平面。

下面我们用最小二乘法求k近邻点云的拟合平面：

当 ||x||＝1时，Ax=0的最小二乘解是ATA的最小特征值对应的特征向量等同于：ATA的最小特征值所对应的特征向量可使||Ax||最小。

结论：假设k-近邻点矩阵B，B为k*3的矩阵，则根据B拟合平面的法向量就是BTB对应的最小特征向量；

同理我们可以得出BTB对应的最大特征向量就是拟合平面的方向向量。（这里的前提是：B已经去中心化）

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实际上，求一组点的拟合平面的过程，就是求其PCA的过程。因为PCA也是可以通过最小化投影距离推导出来的。即样本点到这个超平面的距离足够近。

PCA的推导:基于最小投影距离

重建：

                              

     上式中的x'其实表示原样本点在新的基下的拉伸程度系数，我们把拉伸系数再乘上对应的基向量（在原坐标系下的方向向量），就相当于求出投影后的样本点在原坐标系下的坐标。以三维坐标为例，将点P（x,y,z）投影到一个平面内，变成二维坐标M（x',y'）,平面使用2个基向量（基向量是3维）表示，（x',y'）再与2个基向量相乘求和，就得到点M在原三维空间的坐标。

即样本点到这个超平面的距离足够近。