模式识别与机器学习（十）：梯度提升树

1.原理

提升方法实际采用加法模型（即基函数的线性组合）与前向分步算法。以决策树为基函数的提升方法称为提升树（boosting tree）。对分类问题决策树是二叉分类树，对回归问题决策树是二叉回归树。提升树模型可以表示为决策树的加法模型：
$$f_M(x)=\sum _{m=1}^{M}T(x;{\theta }_m)$$
其中，$T(x;{\theta }_m)$表示决策树，${\theta }_m$为决策树参数，M为树的个数。
而梯度提升树的具体步骤如下：

1.初始化$f_0(x)=0$，并选取损失函数$\mathrm{L}(\mathrm{y},\mathrm{f}(\mathrm{x}))$；
2.对于$\mathrm{m}=0,1,\cdots ,\mathrm{M}$

(1).计算负梯度：
$$-{\mathrm{g}}_{\mathrm{m}}({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}})=-{\frac{\partial \left(\mathrm{L}(\mathrm{y},\mathrm{f}({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}))\right)}{\partial \mathrm{f}({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}})}}_{\mathrm{f}(\mathrm{x})={\mathrm{f}}_{\mathrm{m}-1}(\mathrm{x})}$$

(2).以负梯度$-{\mathrm{g}}_{\mathrm{m}}({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}})$为预测值，训练一个回归树$T(x;{\theta }_m)$；

(3).更新$f_m(x)=f_{m-1}(x)+\rho T(x;{\theta }_m)$；

3.经过M次迭代后取得的模型即为
$$f_M(x)=\sum _{m=1}^M\rho T(x;{\theta }_m)$$
这里的$\rho$为学习率，可用来防止过拟合。

此次实验用梯度提升树来实现多分类任务，在这种情况下输出模型经过softmax函数转化为每个类别的置信概率，从而实现分类目标。

2.代码

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建梯度提升树分类器
clf = GradientBoostingClassifier(n_estimators=100, learning_rate=1.0, max_depth=1, random_state=42)

# 训练模型
clf.fit(X_train, y_train)

# 预测测试集
y_pred = clf.predict(X_test)

# 打印预测结果
print(y_pred)

我们使用了鸢尾花数据集，这是一个常用的多类别分类数据集。我们首先加载数据，然后划分为训练集和测试集。然后，我们创建一个梯度提升树分类器，并使用训练集对其进行训练。最后，我们使用训练好的模型对测试集进行预测，并打印出预测结果。

GradientBoostingClassifier的参数n_estimators表示弱学习器的最大数量，learning_rate表示学习率，max_depth表示每个弱学习器（决策树）的最大深度，这些参数都可以根据需要进行调整。