【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）（下）

【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）（上）

性质21. $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 设 $BC$ 所对中位线是 $KL$, 则 $BI$, $KL$, $DE$ 三线共点; $CI$, $KL$, $DF$ 三线共点. 2023/12/11

配图

证明: $BI$, $KL$, $DE$ 三线共点, 设 $BD$ 交 $DE$ 于 $T$. 易证 $\angle ITD=\angle ACI=C/2$, $\angle ITD=\angle IAC=A/2$, 因此 $△ITD\sim △IAC$. $DT/AC=ID/IC=\sin C/2$, $DT=b\sin C/2$, $DE=2r\cos C/2$ ($r$ 为内切圆半径), $DT/DE=b\tan (C/2)/(2r)$, $CL/CE=b/(2(p-c))$,
$$(DT/DE)/(CL/CE)=(p-c)(\tan C/2)/r=(p-c)/(r/\tan C/2)=(p-c)/|DC|=1$$
因此 $T$ 在 $KL$ 上.

配图

性质22. $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$于 $D$, $E$, $F$. $M$ 为 $BC$ 边的中点. 设 $EF$ 交外接圆 $O$ 于 $E^{\prime }$, $F^{\prime }$ ($E^{\prime }$在 $B$ 所对的弧上, $F^{\prime }$ 在 $C$ 所对的弧上, 显然 $E^{\prime }$, $F^{\prime }$分别为 $AB$, $AC$ 所对劣弧上的中点), 设 $BC$ 所对的北极点是 $J$. $B_1$, $C_1$分别是 $BI$, $CI$ 与外接圆的交点, 设 $P$ 为 $B_1$, $C_1$ 的中点, 则 $EF//B_1{C}_1;I$, $B_1$, $J$, $C_1$ 构成平行四边形; $E^{\prime }$, $F^{\prime }$, $M$, $D$ 共圆且 $P$ 为圆心. (来源: 2015 韩国数学奥林匹克)

配图

证明: 显然 $EF\perp AI$, 连结 $AI$, $A{B}_1$, 则 $\angle B_{1}AI=A/2+B/2$, $\angle C_1{B}_{1}A=C/2$, 因此 $\angle B_{1}AI+\angle C_1{B}_{1}A=\pi /2$, $AI\perp B_1{C}_1.EF//B_1{C}_1.\angle J{B}_1{C}_1=\pi /2-A/2-C/2=B/2=\angle B_1{C}_{1}C$, $J{B}_1//C_{1}I$, 同理, $J{C}_1//B_{1}I$, $I$ $B_1$, $J$, $C_1$ 构成平行四边形. 连结 $JI$, $OM$, $ID$, $F^{\prime }M$, $E^{\prime }D$. 设直线 $E^{\prime }{F}^{\prime }$, 直线 $BC$ 交于 $T$. 由性质1, $D$, $T$ 调和分割 $BC$, $TD\cdot TM=TB\cdot TC=T{F}^{\prime }\cdot T{E}^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$, $M$, $D$ 共圆. 显然四边形 $JMDI$ 是等腰梯形, 由 $I$, $B_1$, $J$, $C_1$ 构成平行四边形可知 $P$ 为 $B_1{C}_1$, $JI$ 的中点, 因此 $P$ 在 $MD$ 的中垂线上, 同时, $OP\perp B_1{C}_1$, 进而 $OP\perp E^{\prime }{F}^{\prime }$, 则 $P$ 在 $E^{\prime }{F}^{\prime }$ 的中垂线上, 因此过 $E^{\prime }$, $F^{\prime }$, $M$, $D$ 的圆以 $P$ 为圆心.

$I^{\prime }$ 为 $△ABC$ 角 $A$ 的平分线上一点, 过 $I^{\prime }$ 向三边作垂线, $BC$, $AC$, $AB$ 边上的垂足分别为 $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$, $E^{\prime }{F}^{\prime }$ 交弧 $AB$ (劣弧)于 $G$, 交弧 $AC$ (劣弧) 于 $H$. $M$ 为 $BC$ 边的中点, 则 $G$, $H$, $D^{\prime }$, $M$ 共圆.

配图1

配图2

性质23. $△ABC$ 的内心为 $I$, 角 $A$ 的平分线 $AI$ 交内接圆于 $K$, $BC$ 边的中点为 $M$, $BC$ 边所对的北极点是 $N$, $A$ 点所对的旁心为 $J_a$, 则 (1) $△IMK\sim △NIK$; $△J_{a}KM\sim △NK{J}_a$ (2) $△IEA\sim △KCN$; (3) $NA//EF$.

配图1, 配图2, 配图3

证明: 仅证明(1), 连结 $NC$, $KC$, 则由鸡爪定理可知 $KC=KI$. 由射影定理可知, $K{C}^2=KM\cdot KN$. 由此可知 $△IMK\sim △NIK$. 由于$K{J}_a=KI$, 因此$K{J}_a^2=KM\cdot KN$, $△J_{a}KM\sim △NK{J}_a$.

(2), (3) 证明略.

性质24-1. $△ABC$ 的内心为 $I$, 外心为 $O$, $N$ 为 $BC$ 所对的北极点, $S$ 为南极点, $D$为 $I$ 在 $BC$ 边上的切点, 设 $P$ 为 $NI$ 与圆 $O$ 的交点, $A^{\prime }$ 为 $A$ 关于 $BC$ 中垂线的对称点, $R$ 为 $I$ 在 $NS$ 上的垂足, 则 $I$, $R$, $S$, $P$ 四点共圆; $I$, $R$, $N$, $A$ 四点共圆; $P$, $D$, $R$, $A^{\prime }$ 四点共线.

配图

证明: 连结 $SP$. 显然 $SP\perp NP$, 结合 $IR\perp NS$, 有 $I$, $R$, $S$, $P$ 四点共圆, 类似地可证明 $N$, $A$, $I$, $R$ 四点共圆. $\angle RPH=\angle RSH=\angle A^{\prime }PN$, 因此 $R$ 在 $NP$ 上, 因此 $D$ 在 $RP$ 上. 由性质23可知, $△IMS\sim △NIS$, 则 $\angle IMN=\angle NIA=\angle SIP=\angle SRP$ 连结 $MI$, 显然四边形 $RIDM$ 是矩形, $\angle MRD=\angle IMR=\angle SRP$, 因此 $D$ 在 $RP$ 上.

性质24-2. 该性质对于旁心亦成立.

配图

证明: 略.

性质24-3. (接性质24-1) $J_a$ 为 $A$ 点所对的旁切圆, $D^{\prime }$ 为 $BC$ 边上的旁切圆切点, 则 $\angle D^{\prime }AB=\angle PAC$.

配图

性质24-4. (接性质24-2) $\angle DAC=\angle PAB$.

配图

性质24-3, 24-4到伪内切圆和伪旁切圆章节再证明.

性质25. $△ABC$ 的内心为 $I$, 外心为 $O$, $K$ 为 $AI$ 与外接圆的交点, $A^{\prime }$ 为 $A$ 关于 $OI$ 的对称点, 则 $A^{\prime }$ 在过 $O$, $I$, $K$ 的圆上. 2023-12-14

配图

证明: 连结 $OA$, $O{A}^{\prime }$, $I{A}^{\prime }$, $OK$. 由对称性可知, $\angle O{A}^{\prime }I=\angle OAI=\pi /2-B-A/2$. $\angle OKI=\pi /2-B-A/2$. 由此可知, $\angle O{A}^{\prime }I=\angle OKI$. 证毕.

配图

性质26. $△ABC$ 的内心为 $I$, 外心为 $O$, $A$ 所对的旁心为 $J_a$, $BI$, $CI$ 分别交对边于 $B_0$, $C_0$, 则 $B_0{C}_0$ 垂直于 $J_{a}O$. 2023-12-15

配图

证明: 不失一般性, 设 $c>b$. 设 $A$, $C_0$, $B_0$ 到 $BC$ 的距离分别是 $h_A$, $h_1$, $h_2$, 由角平分线性质可知, $B{C}_0/C_{0}A=a/b$, $C{B}_0/B_{0}A=a/c$, 进而 $h_1=h_A\cdot B{C}_0/BA=h_A\frac{a}{a+b}$, $h_2=h_A\cdot C{B}_0/CA=h_A\frac{a}{a+c}$. 设 $C_0$, $B_0$ 到 $BC$ 的垂足分别为 $C_0^{\prime }$, $B_0^{\prime }$, $B_0^{\prime }{C}_0^{\prime }=c\cos B\frac{b}{a+b}$. $B_0{C}_0$ 与 $BC$ 所成的角度(锐角)正切为: $(h_1-h_2)/B_0{C}_0$.

代入 : $\cos B=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)$, $\cos C=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)$, $h_A=2S/a$, ($S$为三角形面积)

化简得:
$$(h_1-h_2)/B_0{C}_0=\frac{4S(c-b)}{[(a^2+c^2-b^2)b(a+c)+(a^2+b^2-c^2)c(a+b)]/a}$$
设 $BC$ 边中点为 $M$, $BC$ 边上旁切圆的切点为 $D^{\prime }$, $J_{a}O$ 与 $BC$ 垂线夹角 (锐角) 的正切为: $D^{\prime }M/(r_A+R)$, 其中 $D^{\prime }M=(a-2(p-c))/2=(c-b)/2$.

代入: $R=abc/(4S)$, $r_A=2S/(b+c-a)$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (海伦公式)
$$\begin{array}{rl}{D}^{\prime }M/(r_A+R)& =\frac{(c-b)/2}{[16S^2+a(b^2+c^2-a^2)(b+c-a)]/(8S(b+c-a))}\\ & =\frac{4S(c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)+a(b^2+c^2-a^2)}\end{array}$$
我们比较 $(h_1-h_2)/B_0{C}_0$与 $D^{\prime }M/(r_A+R)$两项的分母和分子. 分子相同, 下面看分母
$$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)+a(b^2+c^2-a^2)=a^2(b+c)+2abc+(c-b)(b^2-c^2)$$

$$\begin{array}{rl}[(a^2+c^2-b^2)b(a+c)+(a^2+b^2-c^2)c(a+b)]/a& =a[b(a+c)+c(a+b)]+(c^2-b^2)[b(a+c)-c(a+b)]/a\\ & =a^2(b+c)+2abc+(c^2-b^2)(b-c)\end{array}$$

显然分母也相等. 证毕.

性质27. $△ABC$ 的内心为 $I$, 外心为 $O$, $A$ 点所对的旁切圆心为 $J_a$. $B_0$, $C_0$ 分别为 $B$, $C$ 的角平分线与对边的交点, 则 $J_a\perp B_0{C}_0$. 2023-12-07

配图

证明: 设 $EF$ 交 $ND$于 $G$. 连结 $D{J}_a$, 设 $BC$ 边上的旁切圆切点为 $D^{\prime }$, 作 $BC$ 的中垂线交 $D{J}_a$ 于 $S$. 下面对于 $△NSD$ 和 $G$, $M$, $J_a$ 利用梅涅劳斯定理逆定理证明 $G$, $M$, $J_a$ 共线.

连结 $NA$, 则 $NA//EF$, $N$ 到 $EF$ 的距离等于 $A$ 到 $EF$ 的距离, 记作 $d_1=r\cos (A/2)/\tan (A/2)$
连结 $DE$, $D$ 到 $EF$ 的距离记作 $d_2=DE\cdot cos(\angle DEF)=2r\cos (C/2)\cos (B/2)$, $D{J}_a/J_{a}S=2$
$MS=r_A/2=p\tan (A/2)/2$, $MN=a/(2\tan (A/2))$, $(NG/GD)\cdot (D{J}_a/J_{a}S)\cdot (MS/MN)=p\sin A/2/(a\cos (C/2)\cos (B/2))$
$$p/a=(a+b+c)/(2a)=(\sin A+\sin B+\sin C)/(2\sin A)=2\cos (A/2)\cos (B/2)\cos (C/2)/\sin A$$
代入得 $(NG/GD)\cdot (D{J}_a/J_{a}S)\cdot (MS/MN)=1$. 证毕.

配图

性质28. $△ABC$ 的内心为 $I$, 外心为 $O$, 向 $BC$ 所作的垂线垂足为 $D$, $OI$ 交 $AD$ 于 $K$, 则 $AK/AD=R/r_a$.

配图

证明: 设 $I$, $O$ 到 $BC$ 的垂线垂足为 $I^{\prime }$, $O^{\prime }$, $AK/AO=KI/IO$. $AO=RKI/IO=D{I}^{\prime }/I^{\prime }{O}^{\prime }$, $AK/R=D{I}^{\prime }/I^{\prime }{O}^{\prime }$
$D{I}^{\prime }=(p-b)-c\cos B=p-b-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=(b-c)(-a+b+c)/2a$, $I^{\prime }{O}^{\prime }=a/2-(p-b)=(b-c)/2$, $D{I}^{\prime }/I^{\prime }{O}^{\prime }=(-a+b+c)/a$, $AK=(-a+b+c)R/a$, $AD=2S/a$, $AK/AD=(-a+b+c)R/(2S)=R/(2S/(-a+b+c))=R/r_A$.

性质29. $△ABC$ 的内心为 $I$, 外心为 $O$, $BI$, $CI$ 分别交对边于 $B_0$, $C_0$, 交外接圆于 $B_1$, $C_1$, 则 $AI\perp B_1{C}_1$; $B_0{C}_0$, $B_1{C}_1$ 外接圆在 $A$ 点的切线, $BC$ 过点 $I$ 的平行线交于一点. 2023/12/19

配图

证明: 由鸡爪定理, $C_{1}I=C_{1}A$, $B_{1}I=B_{1}A$, 因此 $AI\perp B_1{C}_1$. 设 $B_0{C}_0$ 与 $BC$ 过点 $I$ 的平行线交于 $T$, 连结 $B{C}_1$, $B_0{C}_0$ 过点 $I$ 的平行线与直线 $BC$ 交于 $T^{\prime }$ . 易证 $B{C}_1/C_1{C}_0=C{C}_1/B{C}_1$ (记为 $k$), 考虑 $C_1$ 为中心, 比为 $k$ 的位似变换 $h$, 显然 $h(C_0)=I$ (由鸡爪定理, $C_{1}I=C_{1}B$, $h(I)=C$, 进而 $h(T)=T^{\prime }$. 进而 $T{T}^{\prime }$ 过 $C_1$. 同理, $T{T}^{\prime }$ 也过 $B_1$. 由于 $T$ 在 $AI$ 的中垂线上, 因此 $\angle AIT=\angle IAT=B+A/2$, $\angle OAI=\pi /2-B-A/2$, 因此 $\angle OAT=\pi /2$.

性质30. $△ABC$的内心为 $I$, 垂心为 $H$, 内切圆 $I$ 切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$, 设 $P$ 为 $AD$ 的中点, 设 $DP$ 为 $l_A$, 类似地定义 $l_B$, $l_C$, 则 $l_A$, $l_B$, $l_C$, $IH$ 共点.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c>b$. 记$S$ 为 $△ABC$ 的面积. 首先计算出 $DP$ 分 $IH$ 的比例, 设 $T$ 为 $DP$ 与 $IH$ 的交点, 设直线 $l_A$ 交直线 $AH$ 于 $X$, $A$在 $BC$ 上的垂足为 $A^{\prime }$. 求解 $AX$, 对 $△A{A}^{\prime }L$ 和截线 $XPD$ 由梅涅劳斯定理可知, $AX/X{A}^{\prime }\cdot A^{\prime }D/DL\cdot PL/PA=1$, $CL/BL=b/c$, $CD=(p-c)$, 进而可知 $DL=ab/(b+c)-(p-c)=\frac{(c-b)(b+c-a)}{2(b+c)}$, $A^{\prime }D=(p-c)-b\cos C=\frac{(c-b)(b+c-a)}{2a}$,代入得: $AX/X{A}^{\prime }=a/(b+c)$, $AX/A{A}^{\prime }=a/(b+c-a)$. $r_A/A{A}^{\prime }=\frac{S/(p-a)}{2S/a}=a/(b+c-a)$, 因此 $AX=r_A$.

$$IT/TH=r/(r_A+AH)$$

$r_A+AH=2S/(b+c-a)+2R\cos A$, 代入 $R=abc/(4S)$, $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ 得:

$$r_A+AH=\frac{2abc(b^2+c^2-a^2)(b+c-a)+16S^{2}bc}{4Sbc(b+c-a)}$$

代入 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (海伦公式), 并整理得到

$$r_A+AH=\frac{-a^3-b^3-c^3+a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc}{8S}$$

交换 $a$, $b$, $c$ 的位置可得到 $l_B$, $l_C$ 分 $IH$ 的比例, 注意到这个表达式是关于 $a$, $b$, $c$ 对称的, 因此 $l_B$, $l_C$ 也交 $IH$ 于 $T$.

配图

完稿于2023/12/23