背包详解：01 背包

目录

• 简单 01 背包
  
  • 空间复杂度优化
  • 另一种状态转移
• 普通 01 背包
• 求方案数
• 刚好填满背包
• 总结

  刷掉了《剑指offer》的天梯后，感觉自己对动态规划，回溯，枚举等类型的问题还感觉十分生疏，就打算把这些类型挑出来个个击破。

  背包问题是动态规划的入门问题之一，于是我找到了师兄之前推荐给我的《背包九讲》，就着 Lintcode 的 backpack 天梯，学习了一下这个方面的问题。

简单 01 背包

有一个大小为 m 的背包，有 N 个物品， 每个物品的重量为 A_i，最多能装多满？(Lintcode-92)

  这就是最简单的 01 背包问题，01 指得是给的物品只有两种状态，放进包里，或者没放进包里。

  如果不知道动态规划，一般脑子里会浮现出贪心的思想，先放最大，然后慢慢填满。如果有测试集，很快就会发现这个思想并不是每步最优，最终导致全局也不是最优解。

  如果贪心不能用，那么就枚举吧，一个 N 个物品，每次放一个，把所有情况都存下来，但感觉存储每步的结果好像很麻烦，但是没关系，我们先用一个测试集感受一下使用枚举寻找最优解的过程，在这个过程中来寻找存储的方法。

  假如背包大小为11，有 4 个物品，大小分别为 [2, 3, 5, 7]。

• 最初始，背包里没有物品，记为 {0, {}}，表示背包重量为 0，后面花括号中为已经装入的物品列表
• 第一次，放入 2，记为 {2， {2}}
• 第三次，放入 3，从背包为 0 时放入，得到 {3, {3}}，从背包重量为 2 时放入，得到 {5, {2, 3}}
• 第三次，放入 5，从背包为 0 时放入，可以得到 {5, {5}}, 我们已经有 {5, {2, 3}}，但这个问题中我们不记录装的内容，随便保留一个就好了，选择保留新的 {5, {5}}。从背包为 2，3，5 时放入，分别得到 {7, {2, 5}}, {8, {3, 5}}, {10, {2, 3, 5}}
• 第四次，放入 7，可以得到 {7, 0}, {9, {2, 7}}, {10, {3, 7}}, {12, {5, 7}}, 不对，背包大小为 11，这个结果不用记，背包重量为 7,8 和 10 时更加装不下，都不用记录

列一下每一步的表:
1. {0, {0}}
2. {0, {0}}, {2, {2}}
3. {0, {0}}, {2, {2}}, {3, {3}}, {5, {2, 3}}
4. {0, {0}}, {2, {2}}, {3, {3}}, {5, {5}}, {7, {2, 5}}, {8, {5, 3}}, {10, {2, 3, 5}}
5. {0, {0}}, {2, {2}}, {3, {3}}, {5, {5}}, {7, {7}}, {8, {5, 3}}, {9, {2, 7}}, {10, {3, 7}}

  我们可以得出最多装入的重量为 10， 那么问题来了，会出现枚举重复吗？这个枚举覆盖到所有情况了吗？我们需要多大的存储空间来完成枚举？

  我们每一轮放入的都是不同的物体，不会重复。每一轮都尝试过把目前的物体放入所有上一轮的结果，从列表的过程中也可以看出，肯定覆盖全面了。存储空间的话，只要记录下上面的表就可以了，由于背包内部不用记录，超出背包容量的情况不需要记录，所以只要用 物品个数 * 背包容量 大小的二维数组来存储就好了。

我们来画出这个二维数组：

轮数 i	物品重量 A_i	背包重量 j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	2	0	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	3	0	0	2	3	0	5	0	0	0	0	0	0
3	5	0	0	2	3	0	5	0