【数据结构】AOE网与关键路径

一.AOE网的定义（Activity On Edge NetWork）

        在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。

二.AOE网的性质

1.只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；

2.只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

AOE网与AOV网对比：

（1）AOV网无权值；AOE网有权值

（2）在AOE网中，顶点表示事件，弧表示活动，权值表示活动时间

（3）在AOV网中，顶点表示活动，弧表示优先关系

（4）AOV与AOE网中均没有环

三.AOE网的作用

1.可以知道完成整个工程至少需要多少时间

2.为缩短完成工程所需的时间，应当加快哪些活动

四.关键路径与关键活动

关键路径：

在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。

关键活动：

关键路径上的活动称为关键活动

要找出关键路径，必须找出关键活动，即不按期完成就会影响整个工程进度的活动。

首先计算以下与关键活动有关的量：

（1）事件的最早发生时间ve[k]

从始点开始到顶点的最大路径长度，这个长度决定了所有从顶点发出的活动能够开工的最早时间。

p[k]表示所有到达的有向边的集合。

（2）事件的最迟发生时间vl[k]

vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下，事件允许的最晚发生时间

从后往前推算结点的vl值

（3）活动的最早开始时间ee[i]

若活动是由弧表示，则活动的最早开始时间等于事件的最早发生时间

即：ee[i]=ve[k]

（4）活动的最晚开始时间el[i]

若活动是由弧表示，则活动的最晚开始时间要保证事件的最迟发生时间不拖后

即：

最后计算各个活动的时间余量el[k]-ee[k]，时间余量为0即为关键活动

注：

缩短工程时间

1）适当提高对应关键路径上的关键活动的速度，保证不改变AOE网的关键路径的前提下。

2）同时提高AOE网上的关键路径上关键活动的速度。

五.关键路径算法的伪代码

1）从源点出发，令ve[0]=0，按拓扑排序求其余各顶点的最早发生时间ve[i]；

2）如果得到的拓扑排序中顶点个数小于AOE网中的顶点数，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤3；

3）从终点出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按照逆序拓扑排序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i];

4）根据各顶点的ve和vl值，求每条有向边的最早开始时间ee[i]和最迟开始时间el[i]；

5）若某条有向边满足条件ee[i]=el[i]，则为关键活动。