数学建模中提升目标、变量和约束的紧凑度的几种技巧

在数学建模中，我们常常会更青睐于紧凑的形式，以下有一些常见的方法来提升目标、约束、变量的范围。

1. 针对问题的特定信息来收紧边界：尽管求解器常常会有自己的预处理策略，其中包括推导约束的隐藏关系来对变量边界做收紧处理，但这些方法是从模型本身出发进行预处理；如果建模者能够针对问题，凭经验增加一些信息，来收紧模型边界，往往能够加快模型的优化过程；
2. 选择合适的单位（量级）来表示变量和约束：前面的文章提到，同一个模型当中的量级相差过大，往往会导致求解出现数值问题，另一方面问题是，如果模型量级与问题的容忍误差的差距过大，那么问题收敛到容忍误差范围内的难度将更大，例如，模型的可行解容忍误差为1e-6，则模型当中出现 10e10 将会加大优化难度，可以通过改变变量、约束单位为更大的单位（吨、百万…），这种方法通常可以显著地改善模型的数值问题；
3. 目标的分解：对于多目标问题，有一种常见的做法是将多个目标加权求和为单目标问题，在实际操作中，往往比较难确定合适的权重大小，且容易出现多个目标系数的范围差距非常大的问题。例如，假如有两个优化目标，$f1,f2$，前者目标优于后者目标，通过加权求和后转化为单目标问题 $f=Mf1+f2$，其中的 $M$ 是个极大值，在对偶问题当中，这个 $M$ 值将会转化到对偶问题的约束右端，当对偶可行解误差较小时，就会回到第2点，这个 $M$ 值会导致求解器很难找到对偶可行解，因此有两个策略：用尽可能小的 $M$ 值，也就是比较紧凑的 $M$ 值能加快求解效率；第二个是采用分层优化的方式，来处理多个目标（或者将系数差距较大的目标拆分成多个目标），以此来消除系数范围不合理引起的求解问题。

简而言之，提升模型紧凑度有三个技巧：

1. 增加针对性的信息收紧变量边界；
2. 降低模型系数量级和容忍误差之间的差距；
3. 目标系数差距较大项可以分解为多个目标求解。