【视觉SLAM十四讲】李群与李代数

本文为视觉 SLAM 学习总结，讲解对观测方程中 $x$ 该如何优化。欢迎交流

本讲内容概要

• 李群与李代数的概念，$SO(3),SE(3)$ 与对应李代数的表示方法
• 李代数上的求导方式和意义
• 使用 Sophus 对李代数进行运算

李群和李代数基础

旋转矩阵自身带有约束（正交且行列式为 1）。作为优化变量，会引入额外的约束，使优化变得困难。而在李代数上可以变成无约束优化。

三维旋转矩阵构成了特殊正交群：
$$SO(n)=\{R\in R^{n\times n}|R{R}^T=I,det(R)=1\}$$
三维变换矩阵构成了特殊欧式群:

关于什么是群，见《离散数学》。群需要满足的性质为：封闭性、结合律、幺元、逆（凤姐咬你）。群结构保证了群上的运算具有良好的性质。

可以验证，旋转矩阵集合和矩阵乘法构成群，变换矩阵和矩阵乘法构成群。因此称它们为旋转矩阵群和变换矩阵群。

李群

李群是一个连续的群，刚体运动也是连续的，故 $SO(3),SE(3)$ 都是李群。$SO(3),SE(3)$ 只有定义良好的乘法却没有加法，即对加法不封闭，无定义，难以取极限和求导。

李代数

李代数的引入

我们通过引入李代数解决旋转矩阵和变换矩阵求导的问题。s一个李群对应一个李代数，记作 $so(3),se(3)$。

对于任意旋转矩阵 $R$，满足：
$$R{R}^T=I$$
因为李群是连续的群，所以我们还需要考虑 $R$ 随时间变化，有：
$$R(t)R(t{)}^T$$