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基本等值式
例1
(1)真值表法
(2)等值演算
基本概念
注意:
注意:
例2 求下列公式的析取范式与合取范式
注意:
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项
例如
求公式主析取范式的步骤:
求公式主合取范式的步骤:
例6 (1) 求公式 A=(p→¬q)→r的主析取范式和主合取范式
判断公式的类型
例7 用主析取范式判断公式的类型:
定义 2.1 若等价式 A ↔ B 是重言式,则称 A 与 B 等值 ,记作 A ⇔ B ,并称 A ⇔ B 是 等值式
基本等值式
双重否定律¬¬A ⇔ A幂等律A∨ A ⇔ AA∧A ⇔ A交换律A∨ B ⇔ B ∨ AA∧B ⇔ B ∧ A结合律(A∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨C)(A∧B)∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C )分配律A∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨C)A∧(B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )德摩根律¬( A ∨ B ) ⇔¬ A∧¬B¬(A ∧ B ) ⇔¬ A ∨¬ B吸收律A∨ ( A ∧ B ) ⇔ AA∧ ( A ∨ B ) ⇔ A零律A∨ 1 ⇔ 1A∧ 0 ⇔ 0同一律A∨ 0 ⇔ AA∧ 1 ⇔ A排中律A∨¬ A ⇔ 1矛盾律A∧¬ A ⇔ 0蕴涵等值式A→ B ⇔¬ A ∨ B等价等值式A↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A )假言易位A→ B ⇔¬ B →¬ A等价否定等值式A↔ B ⇔¬ A ↔¬ B归谬论(A → B ) ∧ ( A →¬ B ) ⇔¬ A特别提示:必须牢记这 16 组等值式,这是继续学习的基础可以理解性记忆例如对归谬论的记忆我们已知要使蕴含式为真,则前件A不能为真,后件B不能为假,而归谬论中, ¬B,B都存在,所以一定有假,要使整个式子为真,则A不能为真所以可以推出¬ A为真这仅仅是我的理解
例1
证明两个公式等值
p → ( q → r ) 与 ( p ∧ q ) → r(1)真值表法
p q r q→r p→(q→r) p∧q (p∧q)→r 0 0 0 11 0 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 1 11 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 11 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 11 1 1 1 结论: p → ( q → r ) ⇔ ( p ∧ q ) → r(2)等值演算
p → ( q → r )⇔ ¬ p ∨ ( ¬ q ∨ r ) (蕴涵等值式,置换规则)⇔ ( ¬ p ∨¬ q ) ∨ r (结合律,置换规则)⇔ ¬ ( p ∧ q ) ∨ r(德摩根律,置换规则)⇔ ( p ∧ q ) → r(蕴涵等值式,置换规则)注明可省去置换规则注意:用等值演算不能直接证明两个公式不等值
基本概念
(1) 文字 —— 命题变项及其否定的总称(2) 简单析取式 —— 有限个文字构成的析取式p , ¬ q , p ∨¬ q , p ∨ q ∨ r , …(3) 简单合取式 —— 有限个文字构成的合取式p , ¬ q , p ∧¬ q , p ∧ q ∧ r , …(4) 析取范式 —— 由有限个简单合取式组成的析取式p , ¬ p ∧ q, p ∨¬ q , ( p ∧¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧¬ r ) ∨ ( q ∧ r )(5) 合取范式 —— 由有限个简单析取式组成的合取式p , p ∨¬ q , ¬ p ∧ q, ( p ∨ q ∧¬ p ∧ ( p ∨ ¬ q ∨ ¬ r )(6) 范式 —— 析取范式与合取范式的总称注意:
单个文字既是简单析取式,又是简单合取式
形如 p∧¬q∧r, ¬p∨q∨¬r 的公式既是析取范式,又是合取范式
析取式中间用∨连接
合取式中间用∧连接
定理 2.1(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题 变项和它的否定式定理 2.2(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式(2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都 是重言式定理2.1相当于存在
同时存在A和¬A命题
定理2.2相当于
对于析取式来说∨全是0才为0
对于合取式来说∧全是1才为1
定理 2.3 (范式存在定理)任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式公式 A 的析取 ( 合取 ) 范式—— 与 A 等值的析取 ( 合取 ) 范式求公式 A 的范式的步骤:(1) 消去 A 中的 → , ↔ (若存在)A → B ⇔¬ A ∨ BA ↔ B ⇔ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( A ∨¬ B )(2) 否定联结词 ¬ 的内移或消去¬ ¬ A ⇔ A¬ ( A ∨ B ) ⇔¬ A ∧¬ B¬ ( A ∧ B ) ⇔¬ A ∨¬ B(3) 使用分配律A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C )求合取范式A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )求析取范式注意:
公式范式不唯一
例2 求下列公式的析取范式与合取范式
(1) ( p →¬ q ) ∨¬ r⇔ ( ¬ p ∨¬ q ) ∨¬ r (消去 → )⇔ ¬ p ∨¬ q ∨¬ r (结合律)最后结果既是析取范式 ( 由 3 个简单合取式组成的析取式 ) ,又 是合取范式 ( 由一个简单析取式组成的合取式 )(2) ( p →¬ q ) → r⇔ ( ¬ p ∨¬ q ) → r (消去第一个 → )⇔ ¬ ( ¬ p ∨¬ q ) ∨ r (消去第二个 → )⇔ ( p ∧ q ) ∨ r (否定号内移 —— 德摩根律 ) 析取范式⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) ( ∨ 对 ∧ 分配律) 合取范式
定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次,而且第i个文字出现在左起第i位上(1≤i≤n),称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).
注意:
(1)n个命题变项有个极小项和
个极大项
(2)个极小项(极大项)均互不等值
(3)用 m i 表示第 i 个极小项,其中 i 是该极小项成真赋值的十进制表示 . 用 M i 表示第 i 个极大项,其中 i 是该极大项成假赋值的十进制表示 . m i ( M i )称为极小项(极大项)的名称
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项
极小项 极大项
公式 成真赋值 名称 公式 成假赋值 名称 ¬ p ∧¬ q 0 0m0 p∨q 0 0M0 ¬ p ∧ q 0 1m1 p∨¬q 0 1M1 p ∧¬ q 1 0m2 ¬p∨q1 0 M2 p ∧ q 1 1m3 ¬p∨¬q1 1 M3 m i 与 M i 的关系: ¬ m i ⇔ M i , ¬ M i ⇔ m i
主析取范式——由极小项构成的析取范式
主合取范式——由极大项构成的合取范式
例如
n =3, 命题变项为 p , q , r 时,( ¬ p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r ) ⇔ m 1 ∨ m 3 —— 主析取范式( p ∨ q ∨¬ r ) ∧ ( ¬ p ∨¬ q ∨¬ r ) ⇔ M 1 ∨ M 7 —— 主合取范式这只是其中一个例子
定理 2.5 ( 主范式的存在唯一定理 )任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式 , 并且是唯一的
求公式主析取范式的步骤:
设公式 A 含命题变项 p 1 , p 2 ,…, p n(1) 求 A 的析取范式 A ′ =B 1 ∨ B 2 ∨ … ∨ B s , 其中 B j 是简单合取 式 j =1,2, … , s(2) 若某个 B j 既不含 p i , 又不含 ¬ p i , 则将 B j 展开成 B j ⇔ B j ∧ ( p i ∨¬ p i ) ⇔ ( B j ∧ p i ) ∨ ( B j ∧¬ p i ) 重复这个过程 , 直到所有简单合取式都是长度为 n 的极 小项为止(3) 消去重复出现的极小项 , 即用 m i 代替 m i ∨ m i(4) 将极小项按下标从小到大排列求公式主合取范式的步骤:
(1) 求 A 的合取范式 A ′ = B 1 ∧ B 2 ∧ … ∧ B s , 其中 B j 是简单析取 式 j =1,2, … , s(2) 若某个 B j 既不含 p i , 又不含 ¬ p i , 则将 B j 展开成 B j ⇔ B j ∨ ( p i ∧¬ p i ) ⇔ ( B j ∨ p i ) ∧ ( B j ∨¬ p i ) 重复这个过程 , 直到所有简单析取式都是长度为 n 的极 大项为止(3) 消去重复出现的极大项 , 即用 M i 代替 M i ∧ M i(4) 将极大项按下标从小到大排列
例6 (1) 求公式 A=(p→¬q)→r的主析取范式和主合取范式
解 :( p →¬ q ) → r⇔ ( p ∧ q ) ∨ r (析取范式) ①对于p ∧ q,缺少r⇔ ( p ∧ q ) ∧ ( ¬ r ∨ r )⇔ ( p ∧ q ∧¬ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )⇔ m 6 ∨ m 7 ②对于r,缺少p和q⇔ ( ¬ p ∨ p ) ∧ ( ¬ q ∨ q ) ∧ r⇔ ( ¬ p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )⇔ m 1 ∨ m 3 ∨ m 5 ∨ m 7 ③② , ③代入①并排序,将m合并得( p →¬ q ) → r ⇔ m 1 ∨ m 3 ∨ m 5 ∨ m 6 ∨ m 7 (主析取范式)(p→¬q)→r
⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) (合取范式) ④对于p ∨ r,缺少q⇔ p ∨ ( q ∧¬ q ) ∨ r⇔ ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( p ∨¬ q ∨ r )⇔ M 0 ∧ M 2 ⑤对于q ∨ r,缺少p⇔ ( p ∧¬ p ) ∨ q ∨ r⇔ ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ q ∨ r )⇔ M 0 ∧ M 4 ⑥⑤ , ⑥代入④ 并排序,将m合并得( p →¬ q ) → r ⇔ M 0 ∧ M 2 ∧ M 4 (主合取范式 )
判断公式的类型
设 A 含 n 个命题变项A 为重言式 ⇔ A 的主析取范式含全部 2 n 个极小项⇔ A的主合取范式不含任何极大项 , 记为 1A 为矛盾式 ⇔ A 的主合析取范式含全部 2 n 个极大项⇔ A 的主析取范式不含任何极小项 , 记为 0A 为非重言式的可满足式⇔ A 的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项⇔ A 的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项
例7 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A ⇔ ¬ ( p → q ) ∧ q(2) B ⇔ p → ( p ∨ q )(3) C ⇔ ( p ∨ q ) → r解:(1) A ⇔ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∧ q ⇔ ( p ∧¬ q ) ∧ q ⇔ 0矛盾式(2) B ⇔ ¬ p ∨ ( p ∨ q ) ⇔ 1 ⇔ m 0 ∨ m 1 ∨ m 2 ∨ m 3重言式(3) C ⇔ ¬ ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ ( ¬ p ∧¬ q ) ∨ r⇔ ( ¬ p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∧¬ q ∧¬ r ) ∨ ( ¬ p ∧¬ q ∧ r )∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )⇔ m 0 ∨ m 1 ∨ m 3 ∨ m 5 ∨ m 7非重言式的可满足式